专题七7.1数列的概念及表示课件——2023届高三数学一轮复习

7.1专题七、数列的概念及表示 知识梳理 基础篇 考点　数列的概念及表示 1.数列的概念:一般地,把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中 的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列与函数的关系:数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3, …,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项 an,记为an=f(n),即当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时所对 应的一列函数值就是数列{an},另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(n∈N*) 有意义,那么f(1), f(2),…, f(n),…构成一个数列{f(n)}. 3.数列的性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数,因此它具备函数的某些性质. 1)单调性——若an+1>an,则{an}为递增数列;若an+1<an,则{an}为递减数列. 2)周期性——若an+k=an(k∈N*),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期. 4.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一 项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 5.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an. 2)an=  综合篇 考法一　利用Sn与an的关系求通项公式 1.已知Sn求an的步骤 1)先利用a1=S1求出a1. 2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. 3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列 的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写. 注意:利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)求an时,容易忽略对“n=1”的情形进行检 验而致错. 例1    (2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=    . 解析　解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+ 1-(2an-1+1),得an=2an-1,∴{an}是首项为-1,公比为2的等比数列. ∴S6= = =-63. 解法二:由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,所以S1=-1,当n≥2时,由Sn=2an+1得Sn=2(Sn- Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,∴Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,∴{Sn-1}是首项为-2,公比为2 的等比数列,所以Sn-1=-2×2n-1=-2n,所以Sn=1-2n,∴S6=1-26=-63. 答案　-63 名师点睛 Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的方向转化. 1.利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn、Sn-1的关系式,再求解. 2.利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an、an-1的关系式,再求解. 例2    (2022广东铁一中期末,18)已知数列{an}的前n项和为Sn= n2- n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列bn=[lg an],[x]表示不超过x的最大整数,求{bn}的前1 000项和T1 000. 解析    (1)当n=1时,a1=S1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= n2- n- =3n-2,将n=1代入上式验证 显然适合,所以an=3n-2,n∈N*. (2)因为a4=10,a34=100,a334=1 000,a3 334=10 000,所以bn=  所以T1 000=0×3+1×30+2×300+3×667=2 631. 考法二　利用递推关系求数列的通项公式 1.累加法:对于形如an+1-an=f(n)的数列的递推关系式,若f(1)+f(2)+…+f(n)是 可求的,则可利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(n≥2,n∈N*)求解. 2.累乘法:对于形如 =f(n)(an≠0)的数列的递推关系式,若f(1)·f(2)·…·f(n) 是可求的,则可利用an=a1· · ·…· (an≠0,n≥2,n∈N*)求解. 3.构造法:形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)的递推关系式,把 原递推关系式转化为an+1-t=p(an-t),其中t= ,然后构造 =p,即{an-t} 是以a1-t为首项,p为公比的等比数列. 4