专题5.3.2 正方形的判定（知识要点+专项练习）-八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

专题5.3.2 正方形的判定 【学习目标】 1．了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形判定方法； 3. 会利用特殊四边形的判定条件进行有关论证. 【知识点梳理】 要点一、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点二、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 要点三、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 特别指出：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、正方形的判定 1、如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得△GFC． （1）求证：； （2）若，当______时，四边形是菱形； （3）若，当______时，四边形是正方形． 【变式】如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． （1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？ （2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？ （3）若AB＝8，如果Q点的移动速度不变，要使PQBA是正方形，则P点移动速度是多少？ 类型二、正方形中的最值问题 2.如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，连接PB，PQ，求△PBQ周长的最小值． 【变式】如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，. （1）若、、三点共线，求的长； （2）求△CDF的面积的最小值. 正方形的判定（专项练习） 一、单选题 1．下列命题：①对角线相等的菱形是正方形；②四个内角都相等的四边形是矩形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.其中真命题有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在直角三角形中，，，将直角三角形绕点逆时针旋转，得到，连接，延长到，使，连接、，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．3 D．5 3．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 4．如图，是等腰直角三角形，为直角三角形，为的中点，，．当绕着点旋转时，直角边，分别与边，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②当时，四边形是正方形；③．其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，在中，，，是的中点，过点作和的垂线段，垂足分别为和，四边形沿着的方向匀速运动，点与点重合时停止运动设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，下列四个判断中，正确的个数有（    ） ①四边形是平行四边形 ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形 ④如果，，且，那么四边形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在平行四边形中，为的中点，点，为平行四边形同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），，的延长线分别与平行四边形的另一边交于点，．下面四个判断： ①四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形； ③若平行四边形是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形ENFM是正方形； ④对于任意的平行四边形，存在无数个四边形是矩形． 其中，正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为．若，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论： ①； ②； ③； ④当是的中点时，． 其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空