专题5.3.1 正方形的性质（知识要点+专项练习）-八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

专题5.3.1 正方形的性质 【学习目标】 1．理解正方形的概念； 2．掌握正方形的性质； 3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题． 【知识点梳理】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 特别指出：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 特别指出：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【典型例题】 类型一、正方形的性质 1、如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC的延长线上，且PE＝PB． 求证：（1）△BCP ≌△DCP；（2）∠DPE ＝∠ABC． 举一反三： 【变式1】如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N， （1）求∠BMN的度数； （2）求BN的长． 【变式2】已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时． (1)求证：△ABD≌△ACF； (2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度． 类型二、正方形中的折叠问题 2. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求∠EAG的度数； （3）求BG的长． 【变式】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求BG的长． 正方形的性质（专项练习） 一、单选题 1．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，，是线段上的动点，于点，于点，则的值为 （   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，点是边上的一点，连接，交与点，连接，若，，则正方形的边长为（    ） A． B．1 C． D．2 4．如图，在中，是边上的中线，将沿边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，则与的应满足怎样的关系（    ） A． B． C．且 D．且 5．如图，点C、D、E在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是60，则由两个三角形(、)组成的阴影部分面积是（   ） A．60 B．50 C．40 D．30 6．如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为12和5，则B的面积为（　　） A．7 B．13 C．17 D．60 7．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　） A．2.5 B． C． D．2 8．如图，是正方形边上一点，将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线交于点，交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示，连接并延长交于点，延长交于点．若，则与的比值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论； ①②③④中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在正方形中，E为边上一点，过点D作，与的延长线交于点F．连接，与边交于点G，与对角线交于点H，与相交于点I．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤连接，则．其中结论正确的序号是（　　）． A．①②④ B．①②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 12．如图，P是正方形内一点，，则正方形的面积是（　　） ​​ A． B．13 C． D． 二、填空题 13．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，，则的度数为________． 14．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为．若，则的度数为_____． 15．如图，已知中，，，，以为边作正方形，连接，则的面积为___． 16．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将沿折叠，点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为______． 17