2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）

2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题） 1．抛物线与轴交于点和点，经过点，抛物线的对称轴与轴交于点，一次函数经过点和点，与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在直线上运动点不与点重合，当点关于轴的对称点恰好落在抛物线上时，求点的坐标； (3)长为的线段点位于点的上方在轴上运动，连接，，若和相似，请直接写出点坐标． 2．如图，已知过坐标原点的抛物线经过两点，且是方程两根（），抛物线顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C，连接、． (1)求二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图像的顶点为D，求直线的函数表达式以及的值； (3)若点M在线段上（不与A、B重合），点N在线段上（不与B、C重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)，，三点的坐标为，______，______． (2)连接，交线段于点， ①当与轴平行时，求的值； ②当与轴不平行时，求的最大值； (3)连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程． 6．如图，已知抛物线与x轴交于点点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标． 7．如图①，抛物线与轴交于两点，（点位于点的左侧），与轴交于点，拋物线的对称轴与轴交于点，长为2的线段（点位于点的上方）在轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)求抛物线的关系式； (2)在线段运动过程中，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)如图②过点作轴于点，当和相似时，求点的坐标． 8．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，交线段于点，若，求的值． (3)如图2，已知抛物线的对称轴交轴于点，与直线，分别交于、两点．试问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 9．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求点的坐标； (3)如图2，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求M点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与x轴交于O，A两点，是抛物线的顶点，轴于点D． (1)求抛物线的解析式． (2)P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点P的坐标． (3)Q为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OQ，作轴于点E，是否存在点Q使得与相似．若存在，请直接写出点Q的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求点B，点C的坐标； (2)点D为y轴上一点，且，求点D的坐标； (3)点M为直线下方抛物线上一点，连接交于点N，过点M作轴交于点P． ①若，求点M的横坐标； ②过点M作，垂足为E，求线段的最大值及此时点M的坐标． 13．综合与探究 如图，二次函数的图像经过轴上的点和轴上的点，且对称轴为直线． (1