8.6.1直线与直线垂直课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

直线与直线垂直 8.6.1 第八章　立体几何初步 空间中两条直线的位置关系 在初中，已经研究了平行直线和相交直线.本节课我们一起来探究异面直线吧！ ？ 平行直线 相交直线 异面直线 异面直线所成的角 1 阅读课本第146－147页，完成以下内容. 问题1 提示 平面内两条直线所成的角的范围是多少？ 知识梳理 已知两条异面直线a，b，经过空间 O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 任一点 a′与b′ 两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关. 注意 知识梳理 空间两条直线所成角α的取值范围是 . 0°≤α≤90° 找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 注意 θ∈(0，] 例1 解　∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. 如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； 例1 (2)FO与BD所成的角. 解　如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 反思感悟 根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. 求两异面直线所成的角的三个步骤 证明作出的角就是要求的角. 求角的值，常利用解三角形得出 作 证 计算 注意 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 跟踪训练1 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 解　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG， 由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角， ∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 直线与直线垂直 2 异面垂直 知识梳理 如果两条异面直线所成的角是 ， 那么我们就说这两条异面直线 .直线a与直线b垂直，记作 . 直角 a⊥b 阅读课本第147页，完成以下内容. 注意 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形. 互相垂直 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B. 例2 证明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴A1D1∥BC， ∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C， ∴直线AO与A1B所成的角即为直线AO与D1C所成的角， 如图，连接AC，AD1，易证AC＝AD1， 又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B. 反思感悟 1.先构造两异面直线所成的角 2.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直 证明两异面直线垂直 延伸探究　 若本例条件不变，求证：A1B⊥AC1. 证明　连接AB1，交A1B于点M，如图所示. 设B1C1的中点为N，连接MN，则MN∥AC1， 所以MN与A1B所成的角即AC1与A1B所成的角. 连接A1N，BN，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， △A1B1N≌△BB1N， 所以A1N＝BN，又M为A1B的中点， 所以MN⊥A1B，所以A1B⊥AC1. 跟踪训练2 如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′ 证明　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为CC′的中点， ∴EF∥AC′，∴BE和EF所成的角为∠BEF， 在正三棱柱ABC－A′B′C′中， 在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′. 课堂小结 1. 知识清单： (1)平面内两直线的夹角. (2)异面直线所成的角. (3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直. 2. 方法归纳：转化与化归. 3. 常见误区：容易忽视异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°. 随堂