专题五 5.2三角恒等变换课件——2023届高三数学一轮复习

5.2专题五、三角恒等变换 知识梳理 基础篇 考点　三角恒等变换 1.两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β; (Sα+β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β; (Sα-β) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; (Cα+β) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β; (Cα-β) tan(α+β)= ; (Tα+β) tan(α-β)= . (Tα-β) 2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α; (S2α) cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (C2α) tan 2α= . (T2α) 3.公式的变形与应用 1)两角和与差的正切公式的变形 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2)升幂公式 1+cos α=2cos2 ;1-cos α=2sin2 . 3)降幂公式 sin2α= ;cos2α= . 4)其他常用变形 sin 2α= = ; cos 2α= = ; 1±sin α= ; tan = = . 4.辅助角公式 asin α+bcos α= sin(α+φ), 其中cos φ= ,sin φ= ,tan φ= . 5.角的拆分与组合 1)用已知角表示未知角 例,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β), α=(α+β)-β=(α-β)+β, α= - = + . 2)互余与互补关系 例, + =π,  + = . 3)非特殊角转化为特殊角 例,15°=45°-30°,75°=45°+30°. 综合篇 考法　三角函数式的求值和化简 1.三角函数式的化简原则   2.三角函数式求值的基本类型及解法 1)给角求值:①化为特殊角的三角函数值;②化为正负相消的项,消去求值; ③化分子、分母,使其出现公约数,然后约分求值. 2)给值求值:解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把 待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来,求解时要注意角的范 围的讨论. 3)给值求角:实质上可转化为“给值求值”问题,先求所求角的某一三角 函数值,再利用该三角函数值结合所求角的范围求得角. 例1    (2022石家庄一模,14)已知角α∈ ,tan  = ,则α=     　　    . 解析　∵tan  = , ∴ = , ∴sin   =cos   , ∴sin  cos α+sin  cos   =cos  sin α-cos  sin  , ∴2sin  cos  =cos  sin α-sin  cos α, ∴sin  =sin . ∵α∈ , ∴α- ∈ , ∴ =α- , ∴α= + = . 答案      例2    (2022重庆涪陵实验中学期中,15)若sin 2α= ,sin(β-α)= ,且α∈  ,β∈ ,则α+β的值是　　　    . 解析　因为α∈ ,所以2α∈ , 因为sin 2α= ,所以2α∈ ,即α∈ ,所以cos 2α=- =-  =- .因为α∈ ,β∈ ,所以β-α∈ , 因为sin(β-α)= ,所以cos(β-α)=- =- =- . 所以cos(β+α)=cos(β-α+2α)=cos(β-α)·cos 2α-sin(β-α)sin 2α = × - × = . 因为α∈ ,β∈ ,所以β+α∈ ,所以α+β= . 答案      5.2专题五、三角恒等变换 习题精练 基础篇 考点　三角恒等变换 考向一　两角和与差的三角函数公式 1.(2022海南北京师范大学附中月考,3)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=  (　    ) A.- 　    B. 　    C.- 　    D.  答案    D     2.(2023届福建漳州质检,5)已知cos = ,则sin 2α= (　    ) A. 　    B.- 　    C.- 　    D.-  答案    D     3.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2 cos sin β,则(        ) A.tan(α-β)=1　    B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1　    D.tan(α+β)=-1 答案    C     4.(2022广东江门陈经纶中学月考,6)已知α,β为锐角,sin α= ,cos(α+β)= - ,则cos β=(　    ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  答