专题五 5.1三角函数的概念与同角关系课件——2023届高三数学一轮复习

5.1专题五、三角函数的概念与同角关系 知识梳理 基础篇 考点　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、三角函数的概念 1.象限角 第一象限角 的集合   第二象限角 的集合   第三象限角 的集合   第四象限角 的集合   2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=k·360+α, k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 3.弧长与扇形面积公式 1)弧长公式:l=|α|r; 2)扇形面积公式:S= lr= |α|r2.(其中|α|为圆心角弧度数的绝对值,r为扇形 半径) 4.三角函数的定义 1)任意角三角函数的定义 ①借助单位圆:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆交于点 P(x,y),那么sin α=y;cos α=x;tan α= (x≠0). ②借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为 (x,y),它与原点的距离为r,则sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0). 2)三角函数值在各象限内的符号   记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1. 2.商数关系:tan α=  . 三、三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α tan α 函数名不变,符 号看象限 二 π+α -sin α -cos α tan α 三 -α -sin α cos α -tan α 四 π-α sin α -cos α -tan α 五  -α cos α sin α 函数名改变,符 号看象限 六  +α cos α -sin α 七  π+α -cos α sin α 八  π-α -cos α -sin α 综合篇 考法一　三角函数定义的应用 1.已知角α终边上一点P的坐标,求三角函数值:先求出点P到原点的距离r, 然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需对参数进行讨论. 2.已知角α的终边所在直线的方程(角α的终边为射线,此处给的是直线方 程),求三角函数值:一般地,由于不确定终边所在象限,故在终边上任取一 个异于原点的点时应分两种情况,然后利用三角函数的定义求解;若直线 的倾斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值. 例1    (2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴 重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=(　    ) A.- 　    B.- 　    C. 　    D.  解析　解法一:由三角函数定义知,tan θ=2,则cos 2θ= =  =- . 解法二:由三角函数定义知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,则sin2θ=4cos2θ.从而有 cos2θ= .故cos 2θ=2cos2θ-1=- . 答案    B 例2    (2022 江苏盐城开学测,14)在平面直角坐标系中,角α的终边过点 A(3,4),则tan α=　　　    ;将射线OA(O为坐标原点)按逆时针方向旋转 后 得到角β的终边,则sin β=　　　    . 解析　∵角α的终边过点A(3,4),则tan α= .将射线OA(O为坐标原点)按逆 时针方向旋转 后得到角β的终边,则β=α+ ,则sin β=sin =cos α= . 答案           考法二　同角三角函数基本关系式的应用 1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用 =tan α可 以实现角α的弦切互化. 2.sin α,cos α的齐次式的应用 1)已知tan α的值,求关于sin α与cos α的齐n次分式的值:分子、分母同除以 cosnα,转化为关于tan α的式子求解. 2)“1”的代换问题:含有sin2α,cos2α及sin α·cos α的整式求值问题,可将所 求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”,然 后求解. 3.同角三角函数基本关系式的常用变形 1)sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 2)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 3)sin α=cos αtan α. 4)sin2α= = . 5)cos2α= = . 例3    (2021全国甲,理9,文11,5分)若α∈ ,tan 2α= ,则tan α=  (　    ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  解析　∵tan 2α= ,且α∈ ,∴ = ,∴2sin 2α=cos α cos 2α+sin αsin 2α,即4sin