核心考点06复数-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020必修二）

核心考点06复数 考点精讲目录 一．虚数单位i、复数（共7小题） 二．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题） 三．纯虚数（共7小题） 四．复数的运算（共10小题） 五．复数的模（共8小题） 六．复数的三角表示（共3小题） 七．实系数多项式虚根成对定理（共3小题） 考点考向 一．虚数单位i、复数 【虚数单位i的概念】 i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为． 【复数的运算】 ①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加． ②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i． 【例题解析】 例：定义运算，则符合条件的复数z为． 解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i． 这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法． 【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数． 2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）． 3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）． 4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝． 二．复数的代数表示法及其几何意义 1、复数的代数表示法 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a； （2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离． 3、复数中的解题策略： （1）证明复数是实数的策略： ①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z． （2）证明复数是纯虚数的策略： ①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）； ②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0． 三．复数的运算 复数的加、减、乘、除运算法则 四．复数的模 1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数． 2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）． 3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）． 4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝． 五．实系数多项式虚根成对定理 实系数多项式虚根成对定理： n次多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系数都为实数，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（复数集），其中a0，b0∈R，则＝a0﹣b0i也是方程的根． 考点精讲 一．虚数单位i、复数（共7小题） 1．（2022春•虹口区校级期末）已知复数z，则“z+＝0”是“z为纯虚数”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．（2022春•浦东新区校级期末）3+4i的虚部是 　 　． 3．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z＝10+17i，则Rez＝　 　． 4．（2022春•浦东新区校级期末）若i是虚数单位，当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为 　 　． 5．（2022春•杨浦区校级期中）已知i为虚数单位，则复数2+i的虚部是 　 　． 6．（2022春•松江区校级期末）设z、z1、z2∈C，则下列命题中的真命题为（　　） A．若z1＞z2，则z1+z＞z2+z B．若z+＝0，则z为纯虚数 C．若z1z2＝0，则z1＝0或