专题6.3 组合问题（4类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.3 组合问题 【考点1：组合与组合数公式】 1 【考点2：有限制条件的组合问题】 2 【考点3：分组分配问题】 3 【考点4：其他组合问题】 6 【考点1：组合与组合数公式】 【知识点：组合与组合数公式】 组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C 公式：C＝＝＝；C＝1；C＝C；C＋C＝C. 1．（2022·浙江·高二阶段练习）（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高三专题练习）计算得到结果为（    ） A．210 B．165 C．126 D．120 3．（2022·全国·高三专题练习）已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（    ） A．； B．； C．； D． 4．（2007·北京·高考真题（文））（    ） A．0 B．2 C． D． 5．（2007·天津·高考真题（理）） （    ） A．3 B． C． D．6 6．（2022·上海崇明·高二期末）已知，则方程的解是___________． 7．（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）若，则m=______ 8．（2007·上海·高考真题（理））规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值． (2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【考点2：有限制条件的组合问题】 【知识点：有限制条件的组合问题】 有限制条件的组合问题的解法 组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．　　 1．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（    ）种. A．16 B．20 C．96 D．120 2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）现有7个大小相同､质地均匀的小球，球上标有数字从这个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（    ） A．56 B．28 C．24 D．12 4．（2022·广东·饶平县第二中学高二期中）有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案的种数为___________． 5．（2008·重庆·高考真题（文））某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）,要在如图所示的6个点上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装方法共有____________种．（用数字作答） 6．（2007·上海·高考真题（文））在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是___________.（结果用分数表示） 7．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（理））从甲、乙等5名同学中随机选3名组成校庆志愿小分队，则甲、乙都不入选的概率为 ________. 【考点3：分组分配问题】 【知识点：分组分配问题】 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象． [方法技巧]　　分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 求解策略 整体均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数 部分均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 不等分组 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 1．（2007·全国·高考真题（文））2名