专题8.3 球的切接问题（4类必考点）-2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题8.3 球的切接问题 【基础知识】 1 【考点1：内切球半径、表面积、体积】 2 【考点2：与内切球有关的最值问题】 3 【考点3：外接球半径、表面积、体积】 4 【考点4：与外接球有关的最值问题】 5 【基础知识】 1.1球的性质 球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则. 1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.3几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为，球的半径为， ①正方体的外接球，则； ②正方体的内切球，则； ③球与正方体的各棱相切，则. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 1.5.解决与球有关的切、接问题的方法： (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． (2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的． 【考点1：内切球半径、表面积、体积】 【知识点：内切球半径、表面积、体积】 1．（2023·全国·高三专题练习）在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期中）著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（    ）． A． B． C． D． 3．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知一个竖直放在水平地面上的圆柱形容器中盛有20cm高的水，若将一半径与圆柱底面半径相同的实心钢球缓缓放入该容器中，最后水面恰好到达钢球顶部，则该钢球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 4．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·高一课时练习）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比为_____，圆柱的表面积与球的表面积之比为_____. 【考点2：与内切球有关的最值问题】 【知识点：与内切球有关的最值问题】 1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知某封闭的直三棱柱各棱长均为2，若三棱柱内有一个球，则该球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东菏泽·统考二模）已知一个装满水的圆台容器的上底面半径为5，下底面半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最大值为（    ） A．32π B．36π C．48π D．50π 3．（2023·全国·高三专题练习）已知某圆锥的内切球的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为__________． 4．（2023·天津·校联考一模）半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为__________. 5．（2023·全国·模拟预测）如图所示的六面体由两个棱长为a的正四面体，组合而成，记正四面体的内切球为球，正四面体的内切球为球，则______；若在该六面体内放置一个球O，则球O的体积的最大值是______． 【考点3：外接球半径、表面积、体积】 【知识点：外接球半径、表面积、体积】 1．（2023·全国·模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，且该圆锥