2023年上海高三数学冲刺练习02

高中数学 春季课程 高三数学 2023上海高三数学冲刺练习02 1． 填空题 1．已知向量和满足，则在方向上的数量投影为　　 ． 2．已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值为　　　 ． 3．、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是　　 ．（填写所有成立的等式序号） ①（A）（B） ② ③ ④ 4．若两个非零向量、满足，则与的夹角为　　 ． 5．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度与其采摘后时间（天满足的函数关系式为，若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为，采摘下来的这种水果失去的新鲜度大概是第　　 天. 6．函数的单调减区间为　　 ． 7．已知矩形，是矩形内一点，且到的距离为2．若将矩形绕顺时针旋转，则线段扫过的区域面积为　　 ． 8．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于　　 ．用数字作答） 9．已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是　　 ． 10．已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是　　 ． 2． 选择题 11．函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 12．如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，是棱的中点，是棱上的动点．设，随着增大，平面与底面所成锐二面角的平面角是　　 A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 13．设是定义在非空集合上的函数，且对于任意的，总有．对以下命题： 命题：任取，总存在，使得； 命题：对于任意的，，若，则． 下列说法正确的是　　 A．命题，均为真命题 B．命题为假命题，为真命题 C．命题为真命题，为假命题 D．命题，均为假命题 3． 解答题 14．已知函数． （1）求函数的最小值和单调增区间； （2）设角、、为的三个内角，若，，求． 15．记为数的前项和，已知为正整数）． （1）求的值，并证明数列是等差数列； （2）求的表达式． 16．某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面、，拱桥所在圆的半径为3米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切．根据空间限制及桥面坡度的限制，桥面跨度的长要不大于18米，不小于12米．已知直线型桥面的修建费用是每米0.6万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设． （1）若桥面（线段，和弧的修建总费用为万元，求关于的函数表达式，并写出的取值范围； （2）当为何值时，桥面修建总费用最低？（角的取值精确到 17．如图，已知椭圆：，左顶点为，经过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. （1）求椭圆的方程； （2）已知为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立. 18．记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”； （2）若函数与存在“点”，求实数的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学 春季课程 高三数学 2023上海高三数学冲刺练习02 1． 填空题 1．已知向量和满足，则在方向上的数量投影为 　　． 【分析】直接根据数量投影的公式求解即可． 【解答】解：， 在方向上的数量投影为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题． 2．已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值为 　　． 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，结合函数在点，（1）处的切线方程为，即可列式求解与的值，则答案可求． 【解答】解：由，得， 则（1），又（1）， ，，得，． ． 故答案为：． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题． 3．、分别是事件、的对立事件，如果、两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是 　②③　．（填写所有成立的等式序号） ①（A）（B） ② ③ ④ 【分析】若，两个事件独立，则与，以及与均为独立事件，再根据对立事件的概率，即可解出． 【解答】解：因为，两个事件独立，所以（A）（B），且与，以及与均为独立事件， 所以（B），故②正确； （A）（B），故③正确， 又，故④错误； （A）（B），故①错误， 故答案为：②③． 【点评】本题考查了概率与统计，相互独立事件，对立事件的概率，学生的数学运算能力，属于基础题． 4．若两个非零向量、满足，则与的夹角为 　　． 【分析】根据条件可得出，然后可得