2023年九年级中考数学二轮复习专题十五 分筋错骨 距离最值

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题15 距离最值问题 第一节 将军饮马问题 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现. 【例1】（2019秋•丰台区期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（2019秋•邳州市期末）如图，，点是内的定点且，点，分别是射线，上异于点的动点，则周长的最小值是　　 A． B． C．3 D．6 【例3】（2017•内江）如图，已知直线，、之间的距离为8，点到直线的距离为6，点到直线的距离为4，，在直线上有一动点，直线上有一动点，满足，且最小，此时　 　． 【例4】（2020•河北区模拟）如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为　　． 【例5】（2018秋•巴南区期末）如图，过点的抛物线的对称轴是，点是抛物线与轴的一个交点，点在轴上，点是抛物线的顶点． （1）求、的值； （2）当是直角三角形时，求的面积； （3）设点在直线下方且在抛物线上，点、在抛物线的对称轴上（点在点的上方），且，过点作轴的平行线交直线于点，当最大时，请直接写出四边形的周长最小时点、、的坐标． 【例6】（2016•龙岩模拟）如图，在直角坐标系中，抛物线与交于，，，四点，点，在轴上，点坐标为． （1）求值及，两点坐标； （2）点是抛物线上的动点，当为锐角时，请求出的取值范围； （3）点是抛物线的顶点，沿所在直线平移，点，的对应点分别为点，，顺次连接，，，四点，四边形（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心的坐标；若不存在，请说明理由． 【同步训练】 1．（2020•安徽模拟）中，，，，，是和上的动点，连接，，则的最小值为　　 A．8 B． C． D． 2．（2020•恩施州）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2020•绥化一模）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上找到一点，使的和最小，则这个和的最小值是　　 A． B． C．3 D． 4．（2020秋•常州期中）如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，，点、分别为射线、上的动点，则周长的最小值是　　 A． B．2 C． D．4 5．（2019秋•碑林区校级月考）在正方形中，，，为直线上一点，为的中点，的最大值为　　 A．6 B． C． D． 6．（2020•黑龙江）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为　　． 7．（2019•丹阳市一模）如图（1），二次函数的图象与轴、直线的交点分别为点、． （1）　　，　　，　　； （2）连接，点是抛物线上一点（异于点，且，求点的坐标　　； （3）如图（2），点、是线段上的动点，且．设点的横坐标为． ①过点、分别作轴的垂线，与抛物线相交于点、，连接．当取得最大值时，求的值并判断四边形的形状； ②连接、，求为何值时，取得最小值，并求出这个最小值． 第二节 胡不归问题 胡不归 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路 径 A→B，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题” 【例1】（2019桂林）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【例2】（2020•安溪县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连结PD，则PD+PC的最小值是（　　） A．4 B．2+2 C．2 D． 【