2023年九年级中考数学二轮复习专题七 折叠问题 乾坤挪移

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题7 折叠问题 第一节 角平分线与折叠问题 翻折是初中三大图形变换之一，深受中考命题者的青睐。翻折必定出现轴对称，那么全等和角平分线问题就是其中的命题背景，研究翻折中的几个常见模型，明白了其中的套路后，抓住变与不变，一切问题将会迎刃而解。我们先从几个常考的翻折模型说起，挖掘其中的性质和结论． 【例1】（2020春•上虞区期末）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，且，则结论：①是等腰三角形；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的序号是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【例2】（2017秋•锦江区校级期中）已知中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（点．分别在边、上）．当以．．为顶点的三角形与相似时，的长为　 　． 【例3】（2020•惠山区一模）如图，在中，，，，点是的中点，将沿着直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，那么的值为　 　． 【例4】（2019•河南二模）如图，在中，，，，点是边上的动点，将沿所在的直线折叠至的位置，交于点．若△为直角三角形，则的长为　 ． 【例5】如图，在菱形中，，，点，分别是边，上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，则点，间的距离的取值范围是　 　． 【例6】（2019•海宁市一模）如图，菱形中，点，分别在边，上．将菱形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，，则的值是　　 A． B． C．2 D． 【例7】（2017•永安市一模）在中，，，，点、分别是边、上的任意一点，把沿直线折叠，点的对应点是． （1）如图①，若是边的中点，求的长． （2）如图②，若，点在边上．求证：四边形是菱形． （3）若点落在的下方，、与边分别相交于点、． ①如图③，当△是等腰三角形，求的值； ②是否还有△是等腰三角形的其他情形？若存在，直接写出的值． 【同步训练】 1．（2017秋•天台县期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2018•唐河县一模）如图，在中，，，，点是上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接交于点，连接，当是直角三角形时，的长为　 　． 3．（2019•平顶山三模）在菱形中，，，点，分别是边，边上的动点，沿折叠，使点的对应点’始终落在边上，则、两点之间的最大距离为　 　． 4．（2020•福山区一模）如图，边长为2的菱形中，，点，分别在边，上，若将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则　 　． 5．（2013•澄海区模拟）已知，其中，，．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点． （1）如图（1），若折叠后使点与点重合，则点的坐标为　 　； （2）如图（2），若折叠后使点与点重合，求点的坐标； （3）如图（3），若折叠后点落在边上的点为，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由． 第二节 正方形和矩形折叠问题 折叠问题是历年来中考的热点，它是图形三大变换中“轴对称”的应用，一般的矩形正方形翻折问题都会出现直角三角形，运用勾股定理和相似就可以破解。但对于所有问题都可以去追根溯源，从哪里来就回哪里去，抓住翻折不变特性，锁定本质，解题也可以一目了然。如果加入二倍角的性质定理，将会有另外一种秒杀的感觉． 【例1】（2018•涪城区校级自主招生）如图，将矩形沿折叠，使点落在边的点处，过点作交于点，连接．给出以下结论：①；②四边形是菱形；③；④当，时，的长为，其中正确的结论个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2018秋•福田区校级月考）如图，在平面直角坐标系中有一矩形，其中，，．若将沿所在直线翻折，点落在点处，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【例3】（2019•西宁）如图，矩形中，是的中点，将沿折叠使点落在点处，延长交于点，连接，若，，则的长是　　 A． B． C．5 D． 【例4】（2019•曾都区一模）如图，矩形中，，，点在边上（不与，重合），将矩形沿折叠，使点，分别落在点，处，有下列结论： ①与互余；②若平分，则；③若直线经过点，则；④若直线交边，分别于，，当为等腰三角形时，五边形的周长为． 其中正确结论的序号是　 　． 【例5】（2012•天津）已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点（点不与点、重合），经过点、折叠该纸片，得点和折痕．设． （Ⅰ）如图①，当时，求点的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点再次折叠纸片，使点落在直线上，得点和折痕，若，试用含有的式子表示； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点恰好落在边上时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【例6】（2020•和平