2023年九年级中考数学二轮复习专题四 袖里乾坤 三角函数

学习数学 领悟数学 秒杀数学 专题4 解直角三角形 第一节 三角函数求塔高和距离的秒杀定理 解直角三角形是初中三角函数中的应用部分，主要考查三角函数定义的运用和构造直角三角形的基本思想，这部分内容总体难度不大，我们在这一专题中介绍破解三角函数应用中的求塔高和距离问题的模型定理，又或者说提供多一些解决问题的方法，多去思考题型中蕴含的公式，多去挖掘背后的命题用意，我们是否会有新的发现和新的体验呢？另外，我们这一专题还会围绕网格中的三角函数去揭开特殊正切值中藏着的秘密. 【例1】某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题：测量古塔的高度 小明的研究报告 小红的研究报告 图示 测量方案与测量数据 　 用距离地面高度为的测角器测出古塔顶端的仰角为，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为． 在点用距离地面高度为的测角器测出古塔顶端的仰角为，然后沿方向走到达点，测出古塔顶端的仰角为． 参考数据 ，， ，，， 计算古塔高度 （结果精确到 （1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程； （2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因； （3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为　　． 【例2】如图，线段表示一信号塔，表示一斜坡，．且点，，三点在同一水平线上，点，，，，在同一平面内，斜坡的坡比为，米．某人站在坡顶处测得塔顶点的仰角为，站在坡底处测得塔顶点的仰角为（人的身高忽略不计），求信号塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，， 【例3】如图所示，某公园有一座雕塑，晓玲和九年级“智慧之星”数学社团的成员想要用所学过的知识测量雕塑的高度．测量方法如下：晓玲先在所选取的处地面上水平放置了一个小平面镜，然后沿着方向后退，当退到点时，刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端的像；接着，晓玲在处测得雕塑顶端的仰角为；已知米，晓玲眼睛与地面的距离米，点、、在同一水平直线上，且、均垂直于，求雕塑的高度．（小平面镜的大小忽略不计，参考数据：，，． 【例4】如图，热气球的探测器显示，从热气球底部处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球处与高楼的水平距离为． （1）求的角度； （2）这栋高楼有多高？（结果保留根号） 【例5】成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：，， 【同步训练】 1．放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广场上放风筝，如图，他在处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了处，此时风筝与水平线的夹角为，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离处10米的处，此时风筝线与水平线的夹角为，已知点，，在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大高度为20米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到1米）（风筝线，均为线段，，，， 2．目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底处测得塔顶的仰角为，在楼顶处测得塔顶的仰角为，，， （1）求大楼与电视塔之间的距离； （2）求大楼的高度（精确到1米） 3．如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是，向前走到达点，测得杆顶端点和杆底端点的仰角分别是和． （1）求的度数； （2）求该电线杆的高度．（结果保留根号） 4．如图，已知线段、分别表示甲、乙两栋楼的高，，，甲楼的高米．从甲楼顶部处测得乙楼顶部的仰角，测得乙楼底部的俯角．求乙楼的高． 5．西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为，测得教学楼楼顶点处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和教学楼的距离为57米，求教学楼的高度．（注：点，，，都在同一平面上，无人机大小忽略不计．参考数据：，， 第二节 特殊角之“”“”“” 网格中的和差角问题 在初三的人教版教材上有这么一个网格题，是让判断两个三角形是否相似.细心的同学就可以发现这两个三角形的锐角之和刚好为，那么这两个角的正切值为多少，他们之间又什么关联。 我们不防把这个题中的两个三角形摆放成如图这种形式，这就不难看出，所以，所以.而，，所以.这就是于特著名的12345基