第五章 核心素养系列3 数列高考中档大题的规范问题-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

核心素养系列3 数列高考中档大题的规范问题 学生用书　课时冲关三十七　P353 1．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜. 解：(1)设{an}的公比为q，则an＝qn－1，因为a1,3a2,9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝n－1. 又bn＝，所以bn＝. (2)由bn＝，得Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式同乘，则Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减，得Tn＝＋＋＋＋…＋－， 即Tn＝－＝ －， 整理得Tn＝－＝－， 又因Sn＝＝. 2Tn－Sn＝2－＝ －＜0， 故Tn＜. 2．(2023·南平市一模)已知等差数列{an}满足a3＝6，前7项和为S7＝49. (1)求{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝(an－3)·3n，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由S7＝＝7a4＝49， 得a4＝7， ∵a3＝6，∴d＝1，∴a1＝4， ∴an＝n＋3. (2)bn＝(an－3)·3n＝n·3n， ∴Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n， ∴3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1， ∴－2Tn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，∴Tn＝. 3．(2020·山东卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q>1)． 因为，即，解得q＝2，a1＝2.所以an＝2n. (2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128， 所以b1对应的区间为：(0,1]，则b1＝0； b2，b3对应的区间分别为：(0,2]，(0,3]，则b2＝b3＝1，即有2个1； b4，b5，b6，b7对应的区间分别为：(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2；b8，b9，…，b15对应的区间分别为：(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3； b16，b17，…，b31对应的区间分别为：(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4； b32，b33，…，b63对应的区间分别为：(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5； b64，b65，…，b100对应的区间分别为：(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6. 所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480. 4．(2023·淄博市一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，若a1＝2b1，a4－a2＝12，S4＋2S2＝3S3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，Tn为{cn}的前n项和，求T2n. 解：(1)等比数列{an}的公比设为q，前n项和为Sn， 数列是公差为d＝1的等差数列， 即有＝t＋n－1，即bn＝n(t＋n－1)， 由a1＝2b1＝t，a4－a2＝12，S4＋2S2＝3S3，得tq3－tq＝12，S4－S3＝2(S3－S2)， 即为a4＝2a3，即q＝＝2，解得t＝2， 可得an＝2n；bn＝n2； (2)cn＝， 即为cn＝， T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝＋ ＝ ＋ ＝－·＋＝ ＋. 学科网（北京）股份有限公司 $