第十章 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第6节　离散型随机变量的分布列及均值与方差 学生用书　课时冲关七十五　P423 [基础训练组] 1．某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)＝(　　 ) A.　　　 B.　　 C．3　　　 D. 解析：D　[因为X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.] 2．随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝，则D(X)的值是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[a＋b＋c＝1.又∵2b＝a＋c，故b＝，a＋c＝.由E(X)＝，得＝－a＋c，故a＝，c＝.D(X)＝2×＋2×＋2×＝.故选B. ] 3．(2023·江苏南京市第二十九中学月考)为喜迎“中国共产党建党100华诞”，某中学高三年级历史方向类的班级举行“党史知识”竞赛．在本次竞赛中共有40道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错倒扣2分”．某学生每道题答对的概率都为，则该学生在本次竞赛时得分的均值为(　　) A．36 B．32 C．172 D．144 解析：C　[由题设，每道题期望分值为E(X)＝5×＋(－2)×＝， ∴40道选择题的期望得分为E(40X)＝ 40E(X)＝40×＝172.故选：C.] 4．把三个不同的小球，随机放入三个不同的盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　 ) A. B. C．2 D. 解析：A　[由题意知ξ的所有可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， ∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.故选A.] 5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ 2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________. 解析：由题意可知，P(X＞2)＝0.5，故P(X＞ 2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.14. 答案：0.14 6．已知随机变量X的分布列如表： X a 2 3 4 P b 若E(X)＝2，则a＝________；D(X)＝________. 解析：由随机变量X的分布列及E(X)＝2，得： ，解得 ∴D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝. 答案：0　 7．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 解析：从正方体的8个顶点中任选4个，有C＝70(种)不同的选法，其中这4个点在同一平面的情况有侧面6种，对棱面6种共有12种不同的情况，所以这4个点在同一个平面的概率为P＝＝. 答案： 8．(2023·湖南岳阳市模拟)某地有A，B，C，D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A，B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B，C，D中直接受A感染的人数X的数学期望为________． 解析：由题意分析得X可取的值为1、2、3，用“X＝k”(k＝1、2、3)表示被A直接感染的人数． 四个人的传染情形共有6种：A→B→C→D， 每种情况发生的可能性都相等，所以A传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况． “X＝1”表示A传染B，没有传染给C、D； “X＝2”表示A传染给B、C，没有传染给D，或A传染给B、D，没有传染给C： “X＝3”表示A传染给B、C、D. 于是有P(X＝1)＝1××＝， P(X＝2)＝1××＋1××＝， P(X＝3)＝1××＝. ∴X可取的值为1、2、3，其中P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， ∴X分布列为： X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 答案： 9．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)．若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是. (1)求盒子中蜜蜂有几只； (2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)． 解：(1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，设盒子中蜜蜂为x只，则由题意，得 P(A)＝＝，所以(11－x)(10－x)＝42， 解之得x＝4或x＝17(舍去)， 故盒子中蜜蜂有4只． (2)由(1)知，盒子