第七章 第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第6节　空间直角坐标系、空间向量及其运算 学生用书　课时冲关五十　P378 [基础训练组] 1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　 ) A．2，　　　　　　　 B．－， C．－3,2 D．2,2 解析：A　[∵a∥b，∴b＝ka， 即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)， ∴ 解得或故选A.] 2．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)， C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　 ) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 解析：B　[由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)， ∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点．∴AB∥CD.] 3. (2023·东城区期末)结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系O－xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCD－OEFG，如图所示： ∵平面BFGD经过点B与x轴垂直， ∴点B在x轴上的射影为G点，结合G得B的横坐标为；同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合E得B的纵坐标为；点B在z轴上的射影为D点，结合D(0,0,1)得B的纵坐标为1.由此可得点B的坐标为.故选A.] 4．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1， ∴b＝(1,1,2)． ∴cos〈a，b〉＝＝＝. ∴a与b的夹角为，故选D.] 5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　 ) A．0　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.故选A.] 6．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________． 解析：设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1).＝(－1－x,3－y,4－z)，由＝2，得点P坐标为，又D(1,1,1)， ∴||＝. 答案： 7．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________． 解析：由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， 设P(0,0，a)(a>0)，则E， 所以＝(0,0，a)，＝，||＝a， ||＝＝＝. 又cos〈，〉＝，所以＝， 解得a2＝4，即a＝2，所以E(1,1,1)． 答案：(1,1,1) 8．如图所示，已知二面角α－l－β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________． 解析：＝＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ，所以||＝，即AD的长为. 答案： 9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝＝5. (2)令＝t(t∈R)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为. 10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)． (1)求以，为边的平行四边形的面积； (2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标． 解：(1)由题意可知，＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，∴cos〈，〉＝ ＝＝. ∴sin〈，〉＝， ∴以，为边的平行四边形的面积为 S＝2×||||·sin〈，〉 ＝14×＝7. (2)设a＝(x，y，z)，由题意，得 即 解得或 ∴向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)． [能力提升组] 11．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b