第六章 第7节 数学归纳法-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第7节　数学归纳法 学生用书　课时冲关四十四　P365 [基础训练组] 1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是(　　 ) A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 解析：D　[当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．] 2．(2023·宝山区二模)用数学归纳法证明＞对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则k的最小值为(　　 ) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析：C　[当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝， 当n＝2时，左边＝＝，右边＝＝， 当n＝3时，左边＝＝，右边＝＝＝，即左边＞右边，不等式成立， 则对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则k的最小值为3.] 3．(2023·甘肃省宁县)用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　 ) A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k 解析：A　[假设n＝k时命题成立，即：5k－2k被3整除．当n＝k＋1时， 5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k ＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k.] 4．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　 ) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：D　[在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．] 5．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：C　[边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．] 6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝k(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真． 解析：n为正奇数，假设n＝k成立后，需证明的应为n＝k＋2时成立． 答案：k＋2 7．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是__________． 解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， ∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2； ∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 8．用数学归纳法证明 …> (k>1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上______，这个乘上去的代数式共有因式的个数是________________________________________． 解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1项． 答案：… 　2k－1 9．平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证：这n个圆分平面为n2－n＋2个部分． 证明：(1)当n＝1时，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一圆把平面分成两部分，所以n＝1命题成立． (2)设n＝k时，k个圆分平面为k2－k＋2个部分，则n＝k＋1时，第k＋1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点分第k＋1个圆为2k段，每一段都将原来所在的平面一分为二，故增加了2k个平面块，共有(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分． ∴对n＝k＋1也成立． 由(1)(2)可知，这n个圆分割平面为n2－n＋2个部分． 10．(2023·凉山州期末)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P1，P2的直线l的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在