第六章 第4节 基本不等式-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第4节　基本不等式 学生用书　课时冲关四十一　P359 [基础训练组] 1．下列命题正确的是(　　 ) A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4 B．若a<0，则a＋≥－4 C．若a>0，b>0，则lg a＋lg b≥2 D．若a<0，b<0，则＋≥2 解析：D　[当sin2x＝1时，1＋1＝2<4，所以A错；若a<0，则a＋≤－4，B错；因为lg a，lg b可以小于零，C错；由a<0，b<0，所以，都大于零，D正确．] 2．(2023·四川省绵阳市)在△ABC中，AB＝4，O为三角形的外接圆的圆心，若＝x＋y(x，y∈R)，且x＋2y＝1，则△ABC的面积的最大值为(　　) A．4　　 B．6　　 C．2　　 D．8 解析：D　[取AC的中点D， 因为＝x＋y(x，y∈R)， 所以＝x＋2y， 又因为x＋2y＝1， 所以B，O，D三点共线， 因为O是三角形的外接圆的圆心， 所以BD⊥AC， 设AD＝DC＝m， 则BD＝， 所以S△ABC＝·2m·＝≤＝8， 当且仅当m＝2时取等号．] 3．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 解析：B　[由＋≥， 得m≤(a＋3b)＝＋＋6. 又＋＋6≥2＋6＝12， (当且仅当＝，即a＝3b时等号成立)， ∴m≤12，∴m的最大值为12.] 4．(2023·长春市质检)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.＋有最大值4 B.有最小值 C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 解析：C　[由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立， ∴≤， ∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故选C.] 5．(2023·宿州市一模)若圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0关于直线l：ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值为(　　 ) A．1 B．5 C．4 D．4 解析：D　[圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心为(2,1)， 圆C关于直线l：ax＋by＝2对称，∴圆心在l上， ∴2a＋b＝2，∴a＋＝1.又a＞0，b＞0， ∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4， ∴＋的最小值为4.] 6．(2023·石家庄模拟)已知正数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值的实数对(a，b)是________． 解析：∵正数a，b满足4a＋b＝30， ∴＋＝(4a＋b)＝≥×＝， 当且仅当b＝4a＝15时，取等号． ∴使得＋取最小值的实数对(a，b)是. 答案： 7．(2023·荆州市一模)已知实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项，则＋的最小值是________． 解析：∵实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项， ∴8a·2b＝2，∴23a＋b＝2，解得3a＋b＝1. 则＋＝(3a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋2，当且仅当b＝a＝－2时取等号． 答案：5＋2 8．设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为____________． 解析：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. ＝＝≥＝4， 等号当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1时成立． 答案：4 9．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋≥2＝2c， ＋≥2＝2b， ＋≥2＝2a. 以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1) 得 (1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1， ∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0， ∴(3＋1)(－1)≥0， ∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1. (2)∵x＞0，y＞0， ∴x＋y＋1＝3xy≤3·2， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0， ∴x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时取等号， ∴x＋y的最小值为2. [能力提升组] 11．若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为(　　) A．0 B. C．1 D. 解析：B　[由题意得f(x)＝ ＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6，即a＝，故选B.] 12．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，侧面BCC1B1的面积为4，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为(　　 ) A．24π