第二章 核心素养系列1 函数与导数高考压轴大题的突破问题-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

核心素养系列1 函数与导数高考压轴大题的突破问题 学生用书　课时冲关二十　P327 1．(2023·山西吕梁市模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ln x＋ax－1. (1)函数f(x)的图象与x轴相切，求实数a的值； (2)设x0是函效f(x)的极值点，若f(x)存在两个零点，证明x0＞1并求a的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝(x－2)ln x＋ax－1，x＞0， ∴f′(x)＝ln x＋＋a，∵函数f(x)的图象与x轴相切，设切点为(x0,0)， ∴f′(x0)＝lnx0＋＋a＝0， f(x0)＝(x0－2)ln x0＋ax0－1＝0， 解得x0＝1，a＝1， (2)由函数f(x)＝(x－2)ln x＋ax－1； 得a＝－＝－ln x＋； 设g(x)＝－ln x＋，则g′(x)＝－－＋＝； 显然，当0＜x＜1时，1－x－ln x＞0，则 g′(x)＞0，所以g(x)在(0,1)上单调递增； 当x＞1时，1－x－ln x＜0，则 g′(x)＜0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减； 所以g(x)≤g(1)＝1； 且当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞； 要使得f(x)存在两个零点，则 a＜1　(a＞1时f(x)无零点，a＝1时f(x)有一个零点)； 由(1)可得f′(x)＝ln x＋＋a＝ln x－＋1＋a； 设h(x)＝ln x－＋1＋a， 易知函数h(x)在(0，＋∞)上为增函数， h(1)＝a－1＜0 (a＜1)且当x→＋∞时，h(x)→＋∞； 由函数的零点存在性定理有，一定存在x0＞1，使得h(x0)＝0；即f′(x0)＝0， 所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增； 故当x0是函数f(x)的极值点，且f(x)存在两个零点时x0＞1，且a的取值范围a＜1. 2．(2023·厦门市一模)已知函数f(x)＝(x2－ax＋a＋1)ex. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)函数f(x)有两个极值点，x1，x2(x1＜x2)，其中a＞0.若mx1－＞0恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f′(x)＝[x2＋(2－a)x＋1]ex， 令x2＋(2－a)x＋1＝0(*)， ①Δ＝(2－a)2－4＞0，即a＜0或a＞4时， 方程(*)有2根， x1＝，x2＝， 函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上递增，在(x1，x2)上递减． ②Δ≤0时，即0≤a≤4时，f′(x)≥0在R上恒成立， 函数f(x)在R上递增． 综上，a＜0或a＞4时，函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上递增，在(x1，x2)上递减；0≤a≤4时，函数f(x)在R上递增． (2)∵f′(x)＝0有2根x1，x2且a＞0， ∴a＞4且， ∴x1＞0，mx1－＞0恒成立等价于m＞＝恒成立， 即m＞－x＋2x2＋1恒成立． 令t＝a－2(t＞2)，则x2＝＝. 令g(t)＝， t＞2时，函数g(t)＝递增， g(t)＞g(2)＝1， ∴x2＞1，∴－x＋2x2＋1＜2， 故实数m的取值范围是[2，＋∞)． 3．设函数f(x)＝ex(x－1)－x－a，a为常数． (1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在点P(0，f(0))处的切线方程； (2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2； ①当a∈Z时，求a的最小值； ②当a＝1时，求x1＋x2的值． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝ex(x－1)－x， ∴f′(x)＝xex－1，∴k＝f′(0)＝－1， ∵f(0)＝－1， ∴函数f(x)的图象在点P(0，f(0))处的切线方程为y＋1＝－(x－0)，即x＋y＋1＝0. (2)①∵f(x)＝ex(x－1)－x－a，∴f′(x)＝xex－1， ∵f′(1)＝e－1＞0，f′(0)＝－1＜0， ∴存在x0∈(0,1)使得f′(x0)＝0，即x0ex0－1＝0， 当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＜0， 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴函数f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(x0)＝ex0(x0－1)－x0－a＝1－a－－x0， ∵函数f(x)有两个不同的零点x1，x2， ∴f(x)min＜0，∴1－a－－x0＜0， ∴a＞1－， ∵y＝＋x在(0,1)上单调递减，∴y＞2，即＋x0＞2， 1－＜1－2＝－1， ∴a≥－1，∴当a∈Z时，a的最小值为－1. ②当a＝1时，f(x)＝ex(x－1)－x－1， 函数f(x)有两个不同的零点x1，x2， 可得x1，x2为f(x)＝0的两根， 由f(x)＝0，即ex(x－1)－x－1＝0， 可得ex＝＞0，即有x＞1或x＜－1， 若m为f(x)＝0的一个根，即有em＝， 则e－m＝＝，可得－m也满