第二章 第14节 定积分概念及简单应用-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第14节　定积分概念及简单应用 学生用书　课时冲关十九　P325 [基础训练组] 1．(2023·湖北模拟)已知t是常数，若∫(2x－2)dx＝8，则t＝(　　) A．1　　　　　 B．－2 C．－2或4 D．4 解析：D　[由∫(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)|＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．] 2．(2023·四平模拟)∫dx的值为(　　) A.　　　 B.　　 C．π　　 D．2π 解析：A　[ 令y＝，则(x－1)2＋y2＝1，(y＞0)． ∴∫表示由曲线y＝，x＝0，x＝1及x轴围成的曲边图形的面积，即圆面积的，∴∫＝.] 3．如果1 N的力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为(　　) A．0.18 J B．0.26 J C．0.12 J D．0.28 J 解析：A　[由物理知识F＝kx知，1＝0.01k， ∴k＝100 N/m，则W＝∫100xdx＝50x2| ＝0.18(J)．故选A.] 4．(2023·东莞市质检)∫(＋x)dx等于(　　 ) A．π B. C．π＋1 D．π－1 解析：B　∫(＋x)dx＝∫dx＋∫xdx＝＋＝.故选B.] 5．如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为(　　 ) 解析：A　[由曲线y＝|x2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即∫|x2－1|dx.] 6．a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________. 解析：封闭图形如图所示， 答案： 7．在同一坐标系中作出曲线xy＝1和直线y＝x以及直线y＝3的图象如图所示，曲线xy＝1与直线y＝x和y＝3所围成的平面图形的面积为________． 答案：4－ln 3 8．(2023·泉州市模拟)若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx(k＞0)及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________. 解析：由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx，联立解得x＝k，y＝2k2， 因为k＞0，所以曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积 S＝∫(x2＋k2－2kx)dx＝| ＝k3＋k3－k3＝9， 解得k＝3. 答案：3 9．(1)求函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积； (2)求由曲线y＝x3与y＝所围成的封闭图形的面积． 解：(1)函数f(x)＝的图象 与x轴所围成的封闭图形的面积 (2)由，解得x＝0或x＝1，或x＝－1， 则由曲线y＝x3与y＝所围成的封闭图形的面积S＝2∫(－x3)dx＝2|＝2＝1. [能力提升组] 10．(2023·泸州市模拟)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x3(x＞0)和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[此题为关于面积的几何概型，边长为1的正方形AOBC的面积为1，叶形图(阴影部分)的面积S(A)＝∫(－x3)dx＝|＝. 所以所求概率P(A)＝.故选A.] 11．由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2(t为常数且t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由得x＝t. 故S＝∫(t2－x2)dx＋∫(x2－t2)dx ＝|＋| ＝t3－t2＋， 令S′＝4t2－2t＝0，因为0＜t＜1，所以t＝， 易知当t＝时，Smin＝.故选A.] 12. (2023·永定区模拟)如图，在直角坐标系xOy中，将直线y＝与直线x＝1及x轴所围成的图形(阴影部分)绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝∫π2dx＝x3|＝.据此类比：将曲线y＝x3(x≥0)与直线y＝8及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝__________. 答案：π 13．已知f(x)为一次函数，且f(x)＝x∫f(t)dt＋1， (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g(x)＝x·f(x)，求曲线y＝g(x)与y＝－3所围成区域面积 解析：(1)设f(x)＝kx＋b， ∵f(x)＝x∫f(t)dt＋1， ∴kx＋b＝x·|＋1， ∴kx＋b＝(2k＋2b)x＋1， ∴k＝－2，b＝1，∴f(x)＝－2x＋1； (2)g(x)＝xf(x)＝－2x2＋x， 由，得x＝或x＝－1， 答案：(1)f(x)＝－2x＋1　(2) 14．抛物线y＝x2将圆面x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为＋，求∫(－x2)dx. 解析