第二章 第13节 第3课时 利用导数研究函数的零点问题-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第3课时　利用导数研究函数的零点问题 学生用书　课时冲关十八　P324 1．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明： (1)f′(x)在区间存在唯一极大值点； (2)f(x)有且仅有2个零点． 解：(1)∵f(x)＝sin x－ln(1＋x)，(x＞－1) ∴f′(x)＝cos x－. ∴[f′(x)]′＝－sin x＋ ∵y＝－sin x在上单调递减， y＝在上单调递减， ∴[f′(x)]′在上单调递减． ∵[f′(x)]′|x＝0＝1＞0 [f′(x)]′|x＝＝－1＋＜0， ∴[f′(x)]′存在唯一零点x0∈， 且x∈(－1，x0)时，[f′(x)]′＞0， x∈时，[f′(x)]′＜0. 即f′(x)在(－1，x0)上单调递增，在上单调递减， ∴f′(x)在区间存在唯一极大值点． (2)令f(x)＝sin x－ln(1＋x)＝0 则sin x＝ln(1＋x)， ∵sin x∈[－1,1]，∴ln(1＋x)∈[－1,1]， ∴x∈. ∴f(x)只在上存在零点． ∵f′(x)＝cos x－，令f′(x)＝0， 由(1)知，f′(0)＝0，f′＝－＞0， f′＝－＜0， ∴f′(x)存在唯一m∈，使f′(m)＝0. ∴f(x)＝sin x－(1＋x)在x∈上有唯一零点，又f(0)＝0. ∴f(x)有且仅有2个零点． 2．(2023·江南十校模拟)已知函数f(x)＝ax2ln x＋xln x－x(a∈R) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝(2ax＋1)ln x＋ax＋＝(2ax＋1)， ①当a≥0时，2ax＋1＞0，则当x∈时， f′(x)＜0； 当x∈时，f′(x)＞0， ∴f(x)在上单调递减，在上单调递增； ②当a＜－，则当x∈∪时， f′(x)＜0. 当x∈时，f′(x)＞0， ∴f(x)在上单调递增，在和上单调递减； ③当a＝－，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ④当－＜a＜0，则当x∈∪时， f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0， ∴f(x)在上单调递增，在和上单调递减； (2)当a≥0时，f(x)＝x， 对x∈(0,1)，f(x)＜0，对x∈[1，＋∞)，f(x)单调递增， 且f(1)＝－＜0，f(e)＝ae2＋e＞0， ∴f(x)有且只有一个零点， 若a＜－，由(1)，要f(x)有两个零点， 必须f(x)max＝f＝－－＞0， 解得a＜－2，而f(1)＝－＜0， 由0＜x＜－＜时，axln x＋ln x－＜ln x－＜0， 故f(x)＜0，∴a＜－2， 若a＝－，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不可能有零点， 若－＜a＜0，由(1)，对x∈(0,1)，f(x)＜0， f＝＜0， ∴只需f＞0，即－＞0， 解得－＜a＜0， 综上，a的取值范围为(－∞，－2)∪. 3．(2023·济南市一模)已知函数f(x)＝aln x－x2＋(2a－1)x(a∈R)有两个不同的零点． (1)求a的取值范围； (2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＞2a. 解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝－2x＋(2a－1)＝－ 若a≤0，则f′(x)＜0，此时f(x)在(0，＋∞)上递减，不符合题意． 若a＞0，则由f′(x)＝0，解得x＝a， 当0＜x＜a时，f′(x)>0， 当x＞a时，f′(x)<0， 此时f(x)在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减； 要使函数f(x)＝aln x－x2＋(2a－1)x(a∈R)有两个不同的零点． 只需f(a)＝aln a＋a2－a＞0即可． 令h(a)＝aln a＋a2－a(a＞0)，h′(a)＝ln a＋2a， 易知h′(a)＝ln a＋2a在(0，＋∞)递增， 且h′(1)＞0， ∴存在x0∈(0,1)，使h′(x0)＝0， ∴a∈(0，x0)时，h(a)递减，a∈(x0，＋∞)时，h(a)递增，∴h(a)＝aln a＋a2－a(a＞0)，草图如图所示： ∴a的取值范围为[1，＋∞)． (2)证明：令g(x)＝f(x)－f(2a－x)， x∈(0，a)， 则g(x)＝aln x－x2＋(2a－1)x－aln(2a－x)－(2a－1)·(2a－x)＋(2a－x)2， g′(x)＝>0， 当0＜x＜a时，g′(x)>0，g(x)在(0，a)上递增， 而g(a)＝0，故g(x)＜g(a)＝0， 故0＜x＜a时，f(x)＜f(2a－x)； 不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a＜x2， ∴0＜2a－x1＞a, 得f(x1)＝f(x2)＜f(2a－x1)， ∵f(x)在(a，＋∞)上递减， ∴x2