第二章 第13节 第2课时 利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第2课时　利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题 学生用书　课时冲关十七　P323 1．(2023·天河区一模)已知函数f(x)＝ln x＋－x＋1－a(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若存在x＞1，使f(x)＋x＜成立，求整数a的最小值． 解：(1)由题意可知，x＞0，f′(x)＝－－1＝， 方程－x2＋x－a＝0对应的Δ＝1－4a， 当Δ＝1－4a≤0，即a≥时，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当Δ＞0，即0＜a＜时，方程－x2＋x－a＝0的两根为， 且0＜＜， 此时，f(x)在上 f′(x)＞0，函数f(x)单调递增， 在，上 f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当a≤0时，＜0，＞0， 此时当x∈，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 综上：当a≤0时，f(x)在x∈上，单调递增， 在x∈上，单调递减； 当0＜a＜时，f(x)在 上单调递增， 在，上单调递减； 当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； (2)原式等价于(x－1)a＞xln x＋2x－1， 即存在x＞1，使a＞成立． 设g(x)＝，x＞1， 则g′(x)＝， 设h(x)＝x－ln x－2， 则h′(x)＝1－＝＞0， ∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 又h(3)＝3－ln 3－2＝1－ln 3＜0，h(4)＝4－ln 4－2＝2－2ln 2＞0， 根据零点存在性定理，可知h(x)在(1，＋∞)上有唯一零点， 设该零点为x0，则x0∈(3,4)，且h(x0)＝x0－ln x0－2＝0，即x0－2＝ln x0， ∴g(x)min＝＝x0＋1 由题意可知a＞x0＋1，又x0∈(3,4)，a∈Z， ∴a的最小值为5. 2．(2023·怀化模拟)已知函数f(x)＝1－axln x－ax(a∈R，且a≠0)． (1)试讨论f(x)的单调性； (2)设函数g(x)＝，当a＞0时，若∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈(0，＋∞)，使不等式g(x1)＋f(x2)≥4成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a(ln x＋2)， 当a＜0时，令f′(x)＞0，得x＞e－2，令f′(x)＜0，得0＜x＜e－2. ∴f(x)在区间(0，e－2)上单调递减，在区间(e－2，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，令f′(x)＞0得0＜x＜e－2， 令f′(x)＜0，得x＞e－2， ∴f(x)在区间(0，e－2)上单调递增，在区间(e－2，＋∞)上单调递减； 综上所述，当a＜0时，f(x)在区间(0，e－2)上单调递减，在区间(e－2，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在区间(0，e－2)上单调递增，在区间(e－2，＋∞)上单调递减． (2)由题意得，g(x)min－4≥(－f(x))min＝－f(x)max； 由(1)知，当a＞0时，f(x)max＝f(e－2)＝1＋； g′(x)＝，令h(x)＝x2ex＋ln x，x＞0； h′(x)＝(x2＋2x)ex＋，∵x＞0；∴h′(x)＞0. ∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增； 又∵h＝－2ln 2＜0；h(1)＝e＞0； ∴h(x)存在唯一零点x0且x0∈. 即xex0＋ln x0＝0; ① g(x)在区间(0，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增； ∴g(x)min＝g(x0)＝； 由①知，x0ex0＝ln＝ln·eln；② 构造函数：φ(x)＝x·ex； 则②即：φ(x0)＝φ；③ 由x＞0时，φ′(x)＝(1＋x)ex＞0； 得φ(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 由③得x0＝ln ，则＝ex0， 将这两个式子代入g(x0)＝ ＝＝1； ∴g(x)min＝1. 由g(x)min－4≥(－f(x))min＝－f(x)max； ∴1－4≥－1－； 解得a≥2e2. 故实数a的取值范围是[2e2，＋∞)． 3．(2023·安徽模拟)已知函数f(x)＝x－mln(x＋m)，m∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若m∈(0，＋∞)，mex－x＋f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意得，函数f(x)的定义域是(－m，＋∞)．f′(x)＝1－＝. 若m＝0，则f′(x)＝1＞0，故函数f(x)是(0，＋∞)上的增函数． 若m＞0，则－m＜0，则当x∈(－m,0)时f′(x)＜0，则x∈(0，＋∞)时f′(x)＞0，故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－m,0)上是减函数． 若m＜0，则－m＞0，故f′(x)＞0，此时函数f(x)在(－m，＋∞)上是增函数． 综上所述，当m≤0时，f(x)在(－m，＋∞)上是增函数；当m＞0时，