第二章 第13节 第1课时 导数在不等式中的应用-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第13节　导数的综合应用 第1课时　导数在不等式中的应用 学生用书　课时冲关十六　P322 1．(2023·东北三省四校联考)已知函数f(x)＝xe－x(x∈R) (1)求函数f(x)的单调区间； (2)证明：当x＞0时，f(x)＋＞1. 解：(1)∵f(x)＝xe－x(x∈R)，∴f′(x)＝， 令f′(x)＞0，得x＜1；令f′(x)＜0，得x＞1； 所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，1)，减区间为(1，＋∞)． (2)由(1)f(x)＝xe－x(x∈R)，要证f(x)＋＞1，即证＋exln x＞1，即证＋ln x＞ 令g(x)＝＋ln x，则g′(x)＝， x∈(0,1)时，g′(x)＜0，函数g(x)是减函数；x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)是增函数； g(x)min＝g(1)＝1， 令h(x)＝，则函数h(x)在R上递减， 所以h(x)＜h(0)＝1，∴g(x)min＞h(x)， ∴原不等式成立． 2．(2023·乐山市模拟)已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln x(a∈R)． (1)求函数y＝f(x)的单调区间； (2)当a＝1时，证明：对任意的x＞0，f(x)＋ex＞x2＋x＋2. 解：(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝2x－(a－2)－＝. 当a≤0时，f′(x)＞0对任意x∈(0，＋∞)恒成立， 所以，函数f(x)在区间(0，＋∞)单调递增； 当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞，由f′(x)＜0，得0＜x＜， 所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． (2)当a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln x， 要证明f(x)＋ex＞x2＋x＋2， 只需证明ex－ln x－2＞0， 设g(x)＝ex－ln x－2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g(x)＞0， 令g′(x)＝ex－＝0，得ex＝， 易知方程有唯一解，不妨设为x0， 则x0满足ex0＝， 当x变化时，g′(x)和g(x)变化情况如下表 x (0，x0) x0 (x0，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) 递减 极小值 递增 g(x)min＝g(x0)＝ex0－ln x0－2＝＋x0－2， 因为x0＞0，且x0≠1，所以g(x)min＞2－2＝0，因此不等式得证． 3．(2023·岳阳市模拟)已知函数f(x)＝ax2＋ln x＋2. (1)若a∈R，讨论函数f(x)的单调性； (2)曲线g(x)＝f(x)－ax2与直线l交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其中x1＜x2，若直线l斜率为k，求证：x1<<x2. 解：(1)f′(x)＝2ax＋＝，(x＞0)， a≥0时，恒有f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增， a＜0时，令f′(x)＞0，即2ax2＋1＞0，解得0＜x＜，f(x)递增，令f′(x)＜0，即2ax2＋1＜0，解得x＞ ，f(x)递减． 综上，a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上递增， a＜0时，f(x)在上递增， 在上递减． (2)证明：k＝＝， 要证x1<<x2，即证x1<<x2， 等价于1<<，令t＝，则t>1，只需证1<<t， 由t＞1知ln t＞0，故等价于ln t＜t－1＜tln t， 设φ(t)＝t－1－ln t，则φ′(t)＝1－>0， 所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)＞φ(1)＝0，即t－1＞ln t. 又设h(t)＝tln t－(t－1)，则h′(t)＝ln t＞0， 所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(t)＞h(1)＝0，即tln t＞t－1， 故x1<<x2. 4．(2023·兴安盟一模)已知实数a＞0，函数f(x)＝ex－ax－1(e为自然对数的底数)． (1)求函数f(x)的单调区间及最小值； (2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值； (3)证明：ln＋ln ＋ ln＋…＋ln ＜1(n∈N*)． 解：(1)∵f′(x)＝ex－a， 当a＞0时，由x∈(ln a，＋∞)，f′(x)＞0，得函数f(x)在(ln a，＋∞)上是增函数； 由x∈(－∞，ln a)，f′(x)＜0，得函数f(x)在(－∞，ln a)上是减函数． 则当a＞0时，函数f (x) 的单调递增区间是(ln a，＋∞)，单调递减区间是(－∞，ln a)． 即f(x)在x＝ln a处取得极小值且为最小值，最小值为f(ln a)＝eln a－aln a－1＝a－aln a－1. (2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，等价为 f(x)min≥0， 由(1)知，f(x)min＝a－aln a－1， 设