第二章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2024高考理科数学复习大一轮课时作业word（老教材，人教版）

第12节　利用导数研究函数的极值、最值 学生用书　课时冲关十五　P320 [基础训练组] 1．(2023·沈阳市一模)设函数f(x)＝xex＋1，则(　　 ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：D　[由于f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex， 令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1， 令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数 令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数 所以x＝－1为f(x)的极小值点．] 2．(2023·辽宁省丹东市质检)若x＝1是函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x的极值点，则a的值为(　　) A．－2　　　　　　 B．3 C．－2或3 D．－3或2 解析：B　[f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x⇒f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)， 由题意可知f′(1)＝0，即1＋2(a＋1)－(a2＋a－3)＝0⇒a＝3或a＝－2， 当a＝3时，f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)， 当x＞1或x＜－9时，f′(x)＞0，函数单调递增；当－9＜x＜1时，f′(x)＜0，函数单调递减， 显然x＝1是函数f(x)的极值点； 当a＝－2时，f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 所以函数f(x)是R上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去． 故a＝3.] 3．(2023·银川市模拟)已知函数f(x)＝cos x＋aln x在x＝处取得极值，则a＝(　　 ) A.　　 　B.　　　 C.　　 D．－ 解析：C　[∵f(x)＝cos x＋aln x，∴f′(x)＝ －sin x＋. ∵f(x)在x＝处取得极值， ∴f′＝－＋＝0， 解得a＝，经检验符合题意，故选C.] 4．若关于x的不等式x3－3x＋3－－a≤0有解，其中x≥－2，则实数a的最小值为(　　 ) A．1－ B．2－ C.－1 D．1＋2e2 解析：A　[化简可得a≥x3－3x＋3－， 设f(x)＝x3－3x＋3－， ∴f′(x)＝3x2－3－ ＝(x－1)(3x＋3＋e－x)． 可证3x＋3＋e－x>0恒成立． 令f′(x)＝0，解得x＝1，故当x∈[－2,1)时，g′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故f(x)在[－2,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 所以fmin(x)＝g(1)＝1－3＋3－＝1－，故选A.] 5．(2023·泉州质检)已知直线y＝a分别与函数y＝ex＋1和y＝交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[由y＝ex＋1得x＝ln y－1，由y＝得x＝y2＋1，所以设h(y)＝|AB|＝y2＋1－(ln y－1)＝y2－ln y＋2，h′(y)＝2y－＝(y＞0)，当0＜y＜时，h′(y)＜0；当y＞时，h′(y)＞0，即函数h(y)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以h(y)min＝h＝2－ln ＋2＝.] 6．(2023·德州质检)已知函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________． 解析：由f′(x)＝－x2＋1，知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(a,10－a2)上存在最大值的条件为其中f(1)≥f(a)，即为－＋1≥－a3＋a， 整理得a3－3a＋2≥0，即a3－1－3a＋3≥0， 即(a－1)(a2＋a＋1)－3(a－1)≥0， 即(a－1)(a2＋a－2)≥0，即(a－1)2(a＋2)≥0， 即解得－2≤a＜1. 答案：[－2,1) 7．如图，在半径为10的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，C，D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为V，设AD＝x，则Vmax＝________. 解析：设圆柱形罐子的底面半径为r， 由题意得AB＝2＝2πr， 所以r＝， 所以V＝πr2x＝π2x＝(－x3＋300x)(0＜x＜10)，故V′＝－(x2－100)＝－(x＋10)(x－10)(0＜x＜10 )． 令V′＝0，得x＝10(负值舍去)， 则V′，V随x的变化情况如下表： 所以当x＝10时，V取得极大值，也是最大值， 所以Vmax＝. 答案： 8．设函数f(x)＝ln x