考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 幂函数的定义及其应用 考点二 幂函数的定义域和值域 考点三 幂函数的图象及应用 （一）依据图象高低判定幂指数大小 （二）图象的识别 （三）幂函数图象过定点问题 考点四 幂函数的性质及其应用 （一）由幂函数的单调性求参数 （二）由幂函数的单调性解不等式 （三）由幂函数的单调性比较大小 （四）幂函数奇偶性的应用 （五）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用 （六）幂函数性质的综合应用 考点五 幂函数的综合问题 考点六 二次函数的图象与性质 （一）二次函数的图象 （二）二次函数的单调性 （三）二次函数在闭区间上的最值 （四）二次方程根的分布 （五）二次函数中的恒成立问题 1、 幂函数的判断及应用 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等函数都不是幂函数。2、常见的幂函数图像及性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 3、 幂函数的图象及应用 （1）幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． （2）要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道： ①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． ②任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限． ③当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象上抛；当0<α<1时，幂函数的图象右抛．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 注：幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． ④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． ⑤在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 4、形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断 形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数. 5、解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 6、二次函数及其应用 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：； ②顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. ③零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. (2)二次函数的图象与性质：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是： ①对称轴：x＝－. ②顶点坐标：. ③开口方向：a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下. ④值域：a＞0时，y∈；a＜0时，y∈ . 　 ⑤单调性：①当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；. ⑥与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 7、二次函数在闭区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值. 它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较