专题13 函数与方程-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题13函数与方程 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：函数零点所在区间的判定 题型二：函数零点个数的判定 题型三：根据函数零点个数求参数 题型四：根据函数零点的范围求参数 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 【考点预测】 1.函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2.函数零点存在定理 (1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 【常用结论】 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 【方法技巧】 1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 2.函数零点个数的判定有下列几种方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 3.已知函数的零点求参数，主要方法有： ①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合； ③分离参数，转化为求函数的最值. 4.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 5.函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养. 二、【题型归类】 【题型一】函数零点所在区间的判定 【典例1】已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) 【解析】f(x)在(0，＋∞)为减函数，又f(1)＝6＞0，f(2)＝2＞0，f(4)＝－2＝－＜0.故选C. 【典例2】函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞) 【解析】∵f′(x)＝＋＞0(x＞0)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln3－＞0，f(2)＝ln2－1＜0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B. 【典例3】(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 【解析】f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0， f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0， f(2)＝e2－4>0， 因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0， 所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点． 故选AD. 【题型二】函数零点个数的判定 【典例1】已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝ 则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________． 【解析】由题意知，方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数即为函数y＝f(x)与y＝1－g(x)交点个