4.3二倍角的三角函数公式（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

4.3二倍角的三角函数公式 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：应用二倍角公式化简、求值及证明 必会题型二：应用二倍角公式解决给值求值求角问题 必会题型三：二倍角公式的应用 必会题型四：二倍角公式综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 二倍角公式 1．二倍角公式 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令，便得到 以上公式称为二倍角的正弦、余弦、正切公式，统称为二倍角公式．这些 公式仅对于使等号两边都有意义的成立． 2和角公式与二倍角公式之间的联系 【名师点睛】(1)二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如是的二倍角，是的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想． (2)对于和，但是在使用时，要保证分母且有意义，即且且．当及时，的值不存在；当时，的值不存在．故此时不能用二倍角公式求，可以利用诱导公式直接求出． (3)二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种． (4)一般情况下，． (5)倍角公式的逆用能拓展思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，． 必会知识二 二倍角公式的变换 (1)配方变换：； (2)因式分解变换：； (3)降幂扩角变换：； (4)升幂缩角变换：． 【名师点睛】配方变换具有并项开方功能，已知的值，必可推出(或)的值，反之也成立．但要注意，如果已知的值，求含有的式子的值，必须讨论角的终边所在象限，才能得出其结果的符号是正号还是负号． 必会知识三 半角公式 在二倍角公式中，用代替得． 由此得． 上式两边分别相除，可得． 又根据正切函数的定义，得到 如下我们得到的5个有关半角三角函数的公式，称之为半角公式．(不要求记忆) 在这些公式中，根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定，若所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号． 必会知识四 万能公式 (1)； (2)； (3)． 已知的值，利用上述公式可以迅速得到的值．反过来，若已知或的值及角的范围也可以迅速求得的值．此种代换称为万能代换，上述公式被称为万能公式．要注意使用的前提是有意义． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：应用二倍角公式化简、求值及证明 1．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（福建省泉州市2022届高三高考考前推题适应性练习数学试题）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．[多选]（2023春·江苏镇江·高一统考期中）下列各式的值为的是（　　） A． B． C． D． 4．[多选]（2023·广东湛江·统考二模）若，则的值可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．[多选]（2023春·山东枣庄·高一统考期中）计算下列各式，结果为的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考期中）____． 7．（2023·高一课时练习）求下列各式的值: (1) (2) (3). 8．（2022春·高一课时练习）化简下列式子： (1) (2) 9．（2022秋·陕西汉中·高三西乡县第一中学校考阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的值域. 必会题型二：应用二倍角公式解决给值求值求角问题 1．（2023春·甘肃庆阳·高一校考期中）已知（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东青岛·统考模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 4．[多选]（2023春·四川南充·高一四川省南充市第九中学校考阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）若，则__________. 6．（山东省德州市2022-2023学年高一下学期期中数学试题）已知为锐角，且满足，则______． 7．（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）若，均为锐角，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 8．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）求解下列问题： (1)求证：； (2)已知，求. 9．（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）已知都是锐角，. (1)求的值； (2)求的值. 10．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）（1）证明：； （2）若，，其中实数，不全为零. ①求； ②求. 必会题型三：二倍角公式的应用 1．（2023春·广东深