6.2.4组合数 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第六章 计数原理 6.2.4 组合数 一 二 三 学习目标 类比与理解组合数的概念 能利用计数原理推导组合数公式 能用组合数的知识与公式求解相关问题 2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法： 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 复习回顾 1.组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 新知探究 类比排列数，我们引进组合数概念： 组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 组合的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为 符号 中的C是英文combination (组合)的第一个字母. 组合数还可以用符号 表示. 回顾：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？ 组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙 排列 新知探究 问题1 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢? 前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系. 那他们之间的数量关系是怎样的？ 应用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 . 组合 a b c a b d a c d b c d 排列 abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb 设这4个元素为a, b, c, d，那么从中取出3个元素的排列数 . 因此组合数 . 以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组 新知探究 新知探究 从4个不同元素中取出3个元素排列数 追问 我们该怎么安排才能和组合联系在一起？ 组合 a b c a b d a c d b c d 排列 abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb 观察上图，也可以这样理解： 第1步 , 从4个元素中取出3个元素作为一组 , 共有种不同的取法； 第2步, 将取出的3个元素做全排列, 共有种不同的取法 根据分布乘法计数原理有 化简后得： 问题2 你能类比“从4个不同元素中取出3个元素排列数”描述“从个元素中取出个元素的排列数”？ 新知探究：组合数的定义 第1步 , 从n个元素中取出m个元素作为一组 , 共有种不同的取法； 第2步, 将取出的m个元素做全排列, 共有种不同的取法; 于是，根据分布乘法计数原理有 所以 概念生成 组合数公式： 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 典例解析 例6 计算： 解： 思考 此关系是否具有一般性？ 性质1 新知探究：组合数的性质 问题3 对于组合数的这个性质你能给出证明与解释吗？ 性质1 证明： 解释： 该性质反映了组合数的对称性. 其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法). 因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样. 即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数 ，也就是 . 解释： 该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+