6.2.3组合 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第六章 计数原理 6.2.3 组 合 一 二 三 学习目标 通过实例理解组合的概念 会分析出排列、组合的异同点 能用组合的知识求解相关问题 复习回顾 1.排列的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 2.排列数： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 3.排列数公式： = 4.全排列数公式： = 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（6.2.1问题1） 问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 新课导入 甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙 甲乙， 甲丙， 乙丙 追问 这两个问题有什么异同点？ 相同点：从3个不同的元素中取出2个 （1）问题1选出来的两个人要考虑顺序 （2）问题2只要选出来两个人即可，不要考虑顺序 不同点： 新知探究 追问2 如果将该问题的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样概括? 问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少个不同的组？ 这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题. 概念生成 组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 思考：比较排列的概念与组合的概念，它们区别与联系是什么？ 共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”， 而组合“与顺序无关”. 例如: ab与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合. 例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列. 由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图所示. 排列与顺序有关 组合与顺序无关 1.判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 组合 排列 (4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 共有多少种分法? 组合 组合 组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果. (3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价? (5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, 共需握手多少次? 组合 (6)从4个风景点中选出2个游览, 有多少种不同的方法? (7)从4个风景点中选出2个, 并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 组合 排列 概念辨析 例1 平面内有A、B、C、D共4个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条? 解: (1)一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个 点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有 条. (2) 将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数, 共有如下6条： AB, AC, AD, BC, BD, CD. 这12条有向线段分别为 典例解析 结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半 追问 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？ 例1 平面内有A、B、C、D共4个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条? 典例解析 巩固练习 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方； (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁. (2) 冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁 亚军 乙 丙 丁 甲 丙