第四讲-空间直线、平面的垂直专题讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

目录 第四讲 空间中的垂直关系 2 入门测 2 题型：空间中的垂直关系 5 知识清单 5 典型例题 6 考点一：线面垂直 6 考点二：线线垂直 9 考点三：面面垂直 12 方法总结： 17 出门测 18 课后练习 21 第四讲 空间中的垂直关系 入门测 1． 判断正误 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 (2)两个平面，有一个公共点，就说相交于点，记作 (3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 (4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 2． 设表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________． 3. 如图所示，在正方体中，分别是的中点． 求证：(1)四点共面； (2)三线共点． 4. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点.A B C D E P （I）证明：平面； 5. 在斜三棱柱中，侧面平面，，为中点. （I）求证：平面；A B C A1 B1 C1 D 6. 如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； 题型：空间中的垂直关系 知识清单 文字语言 符号语言 图形语言 线面垂直的判定定理： 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直. 线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直. 面面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 典型例题 考点一：线面垂直 【例1】如图所示的几何体中，直线平面，且为正方形，为梯形，，又. 求证：直线平面 【例2】如图，四边形与均为菱形，，且． 求证：平面. 【例3】如图，在底面是正三角形的三棱锥中，为的中点，，． （Ⅰ）求证：平面； 【例4】如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面⊥平面，． （Ⅰ）求证：⊥平面； 【例5】如图所示，在正方体中．求证：． 【例6】如图，直三棱柱中，，是棱的中点， 证明： 【练1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，， ，且． （Ⅰ）求证：平面； 【练2】如图，在三棱锥中，平面平面，，，，,是中点，，分别为，的中点． 求证：平面； 考点二：线线垂直 【例1】如图，已知⊙所在的平面，AB是⊙的直径，，是⊙上一点，且，分别为中点。 求证：； 【例2】已知三棱锥中，, ，求证：． 【例3】如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中， ∠BAC=90°，，，，平面平面. （Ⅰ）求证：； 【例4】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点． （Ⅰ）求证：； 【练1】如图，在三棱锥中，，，°, 平面平面，分别为中点. 求证：. 【练2】★★在如图的多面体中，，,，，，，，是的中点． 求证：； 考点三：面面垂直 【例1】在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，且 求证：平面平面； 【例2】如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于、的任意一点：求证：平面⊥平面． 【例3】如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中，是的中点 求证：平面⊥平面 【例4】已知正三角形与平行四边形所在的平面互相垂直.又，且，点分别为的中点.求证： 【例5】在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，分别是棱的中点． 求证：平面. 【练1】★如图，菱形的边长为，,.将菱形 沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积. A B A B C C D M O D O 【练2】如图，在四棱锥中，，平面, 平面 ，，，.求证：平面平面. 【练3】如图，已知四棱锥的底面是矩形，分别是的中点，，，． 求证：； 方法总结： 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的.在关于垂直问题的论证中，要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线.如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法. 线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用：勾股定理证明线线垂直；等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角为直角；菱形对角线垂直平分；正方形、矩形临边垂直；正方形中点连线垂直；直棱