第三讲-空间直线、平面的平行专题讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

目录 第三讲 空间的平行关系 2 入门测 2 题型一：空间中的平行关系 3 知识清单 3 知识1：空间中的平行 3 知识2：两平面平行的性质定理 4 知识3：线线平行、线面平行、面面平行间的关系 4 典型例题 5 考点一：线面平行的证明 5 考点二、线线平行的证明 8 考点三、面面平行的证明 9 方法总结： 12 题型三：异面直线与异面直线所成角 13 知识清单 13 典型例题 13 方法总结： 13 出门测 14 课后练习 17 第三讲 空间的平行关系 入门测 1. ★正四面体有几个面 （A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个 2. ★在空间中，下列说法正确的是 （A）一个点运动一定形成直线 （B）直线平行移动形成平面或曲面 （C）直线绕定点运动形成曲面 （D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 3. ★直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成 （A）平面 （B）曲面 （C）直线 （D）锥面 4 一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是（ ） （A） （B）16 （C） （D） 题型一：空间中的平行关系 知识清单 知识1：空间中的平行 定义 图形 判定定理 性质定理 符号语言 线线平行 同一平面内无公共点的两条直线平行 平面几何、立体几何中有关的判定定理 空间中平行于同一直线的两直线平行 线面平行 若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行 判定 性质 面面平行 若两个平面无公共点，则称这两个平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 判定性质 知识2：两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理1 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 且 性质定理2 如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 且 知识3：线线平行、线面平行、面面平行间的关系 由于三者之间相互沟通、相互联系，因此立体几何问题的解决往往可以一题多解（证）。 典型例题 考点一：线面平行的证明 【例1】在棱柱中，分别是棱的中点．求证：平面． 【练1】如图，在四棱锥中，所有侧棱长与底面边长均相等，为的中点. 求证：∥平面 【练2】如图在正方体中，是棱的中点. 证明：平面； 【例2】★在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点，求证：平面． 【练1】如图，四棱锥的底面为正方形，底面,.分 别为底边和侧棱的中点. 求证：平面; 【练2】如图，矩形所在的平面，分别是的中点. 求证：； 考点二、线线平行的证明 【例1】如图，正方形的边长为，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点. 求证： 【例2】如图，在五面体中，四边形为菱形，且，对角线与相交于；平面， 求证： 【例3】★★ 四棱锥，，，，平面，. 设平面平面，求证：； 考点三、面面平行的证明 【例1】★★(2013-2014北大附检测) 如图，为所在平面外一点，分别为的重心．求证：平面平面 【例2】已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.求证：平面平面； 【例3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，△是正三角形，平面平面，和分别是和的中点.在上是否存在点，使得平面平面，若存在求出点位置，并证明，若不存在，说明理由. 【例4】如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱的中点.若线段上的点满足平面平面，试确定点的位置，并说明理由. 方法总结： 方法1：利用线面平行的性质定理解题 （1）利用线面平行的性质定理解题的步骤 （2）如果已知条件中给了线面平行或隐含线面平行，那么解决过程中，一事实上会用到线面平行的性质定理。在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行。 方法2：应用平面与平面平行的性质定理解题 题型三：异面直线与异面直线所成角 知识清单 求两条异面直线所成的角：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”． 注意：异面直线所成角的范围是 典型例题 【例1】如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①与平行;②与是异面直线;③与成角;④与垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________． 【例2】如图24，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于__________． 【例3如图，正四棱柱（底