第二讲-空间中点线面位置关系专题讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

目录 第二讲 空间中点线面位置关系 2 知识清单 2 知识1：平面 2 知识2：平面的三个公理 2 知识3：点、线、面的位置关系 3 知识4：平行公理和空间等角定理及图形的平移 4 典型例题 5 【点共线】 5 方法总结： 8 出门测 11 课后练习 11 第二讲 空间中点线面位置关系 知识清单 知识1：平面 （1）定义：平面内有无数个点，平面可以看成是空间点的集合。几何里平面是无限延展的。 （2）画法 ①通常把水平的平面画成锐角，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形，如图1所示。 ②如果一个平面被另一个平面挡住，则被遮挡的部分用虚线画出来，如图2所示。 （3）表示法 ①平面通常用一个希腊字母表示，如：平面、平面、平面等。 ②用代表平面的平行四边表的四个顶点表示，如：平面（如图1）。 ③用相对顶点的两个大英文字母来表示，如：平面或平面（如图2）。 知识2：平面的三个公理 公理1 公理2 公理3 自然语言 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言 符号语言 三点不共线有且只有一个平面，使 且 主要应用 （1）检验平面；（2）判定直线是否在平面内；（3）点是否在平面内 （1）确定平面；（2）可用其证明点、线共面问题 （1）它是判定两个不重合的平面是否相交的依据，只要两个不重合的平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；（2）它可以判定点在直线上，即点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则这点在交线上 知识3：点、线、面的位置关系 （1）点、线、面位置关系的符号语言与数学语言 符号语言表示 数学语言表示 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 直线在平面内（或平面过直线） 直线、相交于点 平面、相交于直线 （2）空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交 在同一平面内 有且只有一个交点 平行 在同一平面内 没有交点 异面 不同在任何一个平面内 没有交点 （3）直线和平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点个数 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 图形表示 我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作。 （4）两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 符号表示 图形表示 ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线。 知识4：平行公理和空间等角定理及图形的平移 （1）平行公理：平行于同一直线的两条直线平行。（空间平行线的传递性） （2）空间等角定理与图形的平移 ①等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 ②空间图形的平移： 如果空间的图形的所有点都沿同一方向移动相同的距离到的位置，那么我们就说图形在空间作了一次平移。 温馨提示 （1）空间等角定理是用于证明空间两个角相等的判定定理，它是平面几何中的等角定理在空间中的推广。 （2）空间等角定理解决了角在空间中经过平移后大小是否改变的问题，为两条异面直线所成的角及后面的二面角的平面的定义提供了理论依据，保证了其大小的唯一性。 （3）在空间中若两个角的对应边分别平行，则这两个角相等或者互补。 （4）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 （5）等角定理是证明不共面的角相等的方法之一。 典型例题 【点共线】 【例1】已知在平面外，，，，如图所示．求证：三点共线． 【例2】如图所示，，，与分别在平面的两侧， ，.求证：三点共线． 【线共点】 【例1】在四面体中，分别为的中点，在上，在上，且 有，求证：交于一点． 【例2】如图所示，在正方体中，E为的中点，为的中点．求证：三线交于一点． 【点共面】 【例1】如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 【例2】正方体中，分别是 的中点，求证：这六点共面． 【例3】如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形， ，，分别为的中点． (Ⅰ)求证：四边形是平行四边形； (Ⅱ)四点是否共面？为什么？ 方法总结： 1、点线共面证明问题：结论是几个点或几条直线在同一个平面内的问题. 主要依据 常用方法 操作方法 （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（公理1）； （2）经过不在同一条直线上