考点07 函数的单调性与最值4种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点07 函数的单调性与最值4种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 确定函数的单调性 （一）判断函数的单调性 （二）用定义证明函数的单调性 （三）求函数的单调区间 考点二 函数单调性的应用 （一）利用单调性比较大小 （二）利用函数的单调性解抽象不等式 （三）利用函数的单调性求参数的取值范围 （1）分式函数 （2）二次函数 （3）三次函数 （4）对数函数 （5）分段函数 （6）与绝对值有关的单调性问题 考点三 函数的最值问题 （一）利用函数单调性求最值 （二）根据函数最值求参数 （三）函数不等式恒成立问题 （四）函数不等式有解问题 考点四 抽象函数的单调性问题 1、函数单调性的判断方法： （1） 定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。 具体如下：设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么 ①＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数； ＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数. 上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零. ②增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． （2）性质法： ①当常数c>0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相同；当常数c<0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相反，特别地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的单调性相反. ②当y＝f(x)恒为正或恒为负时，y＝与y＝f(x)的单调性相反. ③若c为常数，则函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋c的单调性相同. ④若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有 1） 为增函数，2）为增函数，3）为减函数，4）为减函数。 ⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)<0且g(x)<0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数. ⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反). （3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减. 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 随着的增大而增大 随着的增大而增大 随着的增大而减小 随着的增大而减小 增函数 增函数 减函数 减函数 （5）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． 对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间上f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上单调递减. 2、函数单调性的应用 （1）比较大小．比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。 注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。比较函数值的大小，常由函数的奇偶性、周期性等，将自变量转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比较其函数值大小. （2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步