专题09 空间直线与平面的垂直问题（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题09 空间直线与平面的垂直问题 知识点1 直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 知识点2 直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 2、符号语言：⇒a∥b 3、图形语言： 4、推论： （1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． （2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. （3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/ （4）垂直于同一条直线的两个平行平行. 知识点3 平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 知识点4 平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言： 3、符号语言： 4、平面与平面垂直的其他性质 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即； （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即； （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即； （5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即 知识点5 三种垂直关系的转化 考点1 垂直关系的判定 【例1】（2022·高一单元测试）已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式1-1】（2022春·福建·高一福建省泉州第一中学校考期中）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，且，则 C．若，，，则 D．若，，，则或a，b异面 【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论： ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β， ②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n， ③若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β， ④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m， 其中正确的结论个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（2022春·高一课时练习）如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（ ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【变式1-4】（2022春·高一课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列结论正确的有（ ） ①平面；②；③平面；④平面. A．个 B．个 C．个 D．个 考点2 线面垂直的证明 【例2】（2022春·高一课时练习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. 【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，.证明：平面. 【变式2-2】（2022·高一课前预习）如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD. 【变式2-3】（2021·高一课时练习）如图，在四面体中，，．求证：平面平面． 【变式2-4】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．求证：平面AEC⊥平面PBD． 【变式2-5】（2023·高一课时练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面； 考点3 线线垂直的证明 【例3】（2023春·全国·高一专题练习）已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面．求证：. 【变式3-1】（2023春·全国·高一专题练习）如图，是边长为的等边三角形，、分别是、的中点，是的重心，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面的射影为点．证明：. 【变式3-2】（2022春·福建莆田·高一统考期末）如图，在直三棱柱中，，E为AC的中点，，，． （1）证明：//平面； （2）证明：． 【变式3-3】（2022·高一课时练习）如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a