微专题14 异面直线所成的角-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

专题14 异面直线所成的角 【题型归纳目录】 题型一：利用中位线平移 题型二：利用四边形平移 题型三：补体法 题型四：平移两次 【方法技巧与总结】 异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 【典型例题】 题型一：利用中位线平移 例1．（2023·安徽芜湖·高一统考期末）如图在正四面体中，E，F分别为AB和AC的中点，则两条异面直线CE与DF所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点M，连接，则为两条异面直线CE与DF所成角（或其补角）， 设正四面体的边长为2，， 所以. 两条异面直线CE与DF所成角的余弦值为. 故选：B. 例2．（2023·山东烟台·高一统考期末）在正方体中，M，N，P，Q分别为，，，的中点，则直线PM与NQ所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】如图所示： 取AB的中点R，连接RN，RQ，， 因为M，N，P，Q分别为，，，的中点， 所以， 所以， 所以为直线PM与NQ所成的角， 又因为是等边三角形， 所以， 故选：C 例3．（2023·广东广州·高一统考期末）如图：已知正四面体中E在棱上，，G为的重心，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取AB中点F，连接FC，FD，如图所示： 为的重心，F为AB中点 又 中， 则异面直线与所成角为或其补角 由题可知，为正三角形 异面直线与所成角为. 故选：A. 例4．（2023·福建厦门·高一统考期末）正四面体A-BCD中，M为棱AD的中点，则直线AB与CM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设正四面体的ABCD的棱长为2，取AD中点N，连结MN，CN， 则MN//AB，且MN=AB=1，既是异面直线AB和CM 所成角（或所成角的补角），CM=CN==. 在等腰中，=. 所以异面直线AB与CM所成角的余弦值为.故B，C，D错误. 故选：A. 题型二：利用四边形平移 例5．（2023·广东肇庆·高一统考期末）在正方体中，E，F分别为和的中点，则异面直线BE与CF所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】设P为的中点，连接PC，PF，则∠PCF为异面直线BE与CF所成的角，设正方体的棱长为1，则，，，由余弦定理可得 . 故选：C． 例6．（2023·四川甘孜·高一统考期末）正方体 ​中，​是​的中点， 则异面直线​.与​所成角的正切值为 （    ） A．​ B．​ C．​ D．1 【答案】A 【解析】如图， 在正方体 ​中， 连接，​ 因为∥ ​， 所以为异面直线 ​与 ​所成的角， 设正方体的棱长为 2 ，则， 所以， 因为平面，平面， 所以， 在中，, 所以异面直线​与​所成角的正切值为 故选：A 例7．（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接，，，， 由正方体的性质可知且，所以为平行四边形， 所以， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 又， 则，， 则， 所以， 故选：C． 例8．在正方体中，则直线与直线所成角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体的棱长为，连接， 因为且，所以四边形是平行四边形， 可得， 所以或其补角即为直线与直线所成角， 在中，，所以， 所以直线与直线所成角大小为， 故选：C. 题型三：补体法 例9．在正方体中，为的中点，平面与平面的交线为，则与AB所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体上面补上一个正方体， 易证为与AB所成的角． 设 例10．在三棱锥P-ABC中，，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题给夆件，可以PA、AB、BC为棱将原图补成正方体，显然，正方体崍长为1，则体对角线，即为所隶异面直线的平面角，，故选． 例11．（2023·湖北·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，则直线与所成角的余弦值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为平面平面，平面 所以，，又， 所以两两垂直，将三棱锥置于一个长方体中，如图所示， 易知，所以直线与所成角即为与所成角为（或其补角）， 由题意可知