2-5 二次函数与幂函数(精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

2.5 二次函数与幂函数 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 2.5 二次函数与幂函数 1 一、主干知识 1 考点1：幂函数的定义 2 考点2：二次函数 2 二、分类题型 4 题型一 幂函数的图象与性质 4 题型二 二次函数的解析式 7 题型三 二次函数的图象与性质 10 命题点1　二次函数的图象 10 命题点2　二次函数的单调性与最值 11 三、课堂总结：知识图谱 13 四、分层训练：课堂知识巩固 14 一、主干知识 考点1：幂函数的定义 1.定义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． （1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1； （4）形式都是y＝xa，其中a是常数． 2.常见的幂函数图像及性质： y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 考点2：二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 二、分类题型 题型一 幂函数的图象与性质 【例题精析1】 （2023·宁夏银川·校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______． 【解答】由函数是幂函数，则，得或， 当时，函数，其定义域为，，则是偶函数，满足条件；当时，函数是奇函数，不合题意.故答案为：2. 【例题精析2】 （2022·全国·高一专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【解答】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大， 所以由图像得：，故选：D 【例题精析3】 （2023·广东广州·统考二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解答】由，，， 则，，又，， 则，即，所以．故选：D． （1）对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． （2）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【对点精练1】 （2022·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【解答】由图象可知：，. 故选：C. 【对点精练2】 （2023·浙江嘉兴·统考二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解答】，又因为通过计算知，所以，即， 又，所以，所以. 故选：B 【对点精练3】 （2023·全国·高三专题练习）三个数，，的大小顺序是（    ） A．>> B．>> C．>> D．>> 【解答】由函数在上单调递增，则 又由于在上单调递减，则， 故 故选：C 【对点精练4】 （2022·全国·高三专题练习）函数，其中，，为奇数，其图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解答】对任意，，由于，为奇数，当时，，此时， 当时，，此时，排除AC选项；当时，任取、且，则，，所以，所以，函数在上为增函数，排除D选项.故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 题型二 二次函数的解析式 【例题精析4】 已知二次函数，，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【解答】（1）解：因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以， 即． （2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线