2023年中考数学专题训练——二次函数与最值

2023年中考数学专题训练——二次函数与最值 1．如图，抛物线与x轴交于两点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P为抛物线上的动点，直线l经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在第一象限，以P为圆心的圆与BC相切，随着点P的运动，⊙P的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值（结果保留π）；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线y=-x2+bx+c经过一次函数y=-x+3与x轴、y轴的交点A、B． (1)求抛物线的解析式． (2)当-1≤x≤2时，函数y=-x2+bx+c取最大值与最小值时，在抛物线上分别对应C、D两点，在直线AB上取一点P，当PC+PD最小时，求P点的坐标及PC+PD的最小值． (3)在抛物线上找一点Q，当S△ABQ=S△ABO时，请直接写出点Q的坐标． 3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A（－1，0），B（2，0）两点，交y轴于点C，直线x＝m（0＜m＜2）交BC于点D，交x轴于点E，交抛物线于点F，连接OD． (1)求此抛物线的解析式； (2)求线段DF长度的最大值； (3)过点F作FP⊥BC于点P，当OD⊥BC时，求PF的长． 4．抛物线过点，点，顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，连接，作，边交x轴于点F，求的最大值． 5．如图，抛物线与直线相交于、两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点C是抛物线的顶点时，求的面积； (3)是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由． 6．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 7．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是y轴右侧抛物线上一个动点． （1）求出点A，B，C的坐标； （2）如图1，当点D在第四象限时，求出△BCD面积的最大值，并求出这时点D坐标； （3）当∠DAB＝∠ABC时，求出点D的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA=1，OB=OC=3． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接DC，DB，BC，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，点P(0，n)是线段OC上一点(不与点O、C重合)，连接PB，将线段PB以点P为中心，旋转90°得到线段PQ，是否存在n的值，使点Q落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n的值，若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过A，B，C三点． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 11．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE． （1）求顶点B的坐标并求出这条抛物线的解析式； （2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值； （3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，抛物线经过A，B与点. （1）求抛物线的解