2023年中考数学专题训练——圆的切线的证明

2023年中考数学专题训练——圆的切线的证明 1．如图，内接于，、是的直径，E是长线上一点，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 2．如图，为的直径，A为上一点，P为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 3．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 4．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 5．如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 6．如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与、分别交于点、，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 7．如图，D为☉O上一点，点C是直径延长线上的一点，连接，且． (1)求证：是☉O的切线； (2)若，，求的长． 8．如图，在菱形中，为菱形的一条对角线，以为直径作，交于点E，交于点F，G为边上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 9．如图，内接于，且．直线过点，且与直径的延长线交于点，，垂足为，平分，，垂足为． (1)求证：直线l是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 10．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，于点G，交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 11．如图，为的直径，为外一点，且，是的弦，． (1)求证：是的切线； (2)若，．则阴影部分的面积为__________ 12．如图，A、B、C是半径为2的上三点，AB为直径，的平分线交圆于点D，过点D作的垂线交的延长线于点E，延长线交的延长线于点F． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的值． 13．如图，是四边形外接圆O的直径，，延长到E使得，作射线交的延长线与F，交与G． (1)求证：与相切； (2)若，求的周长． 14．如图，AB为的直径，C是上一点，D在AB的延长线上，． (1)求证：CD是切线； (2)若，，求的半径长． 15．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上不与O，B重合一点，，分别交弦BC、弧BC于点D、E，连结FC、EB，FC=FD． (1)求证：FC是⊙O的切线． (2)当点E是弧BC的中点时，若，⊙O的半径为，则图中阴影部分面积为　． 16．如图，在中，的角平分线交AC上点E，过点E作EH⊥AB于H，过点E作BE的垂线交AB于点F，的外接圆与CB交于点D． (1)求证：AC是的切线； (2)若，求的半径长． 17．如图，AB是⊙O的弦，点O关于AB的对称点C在⊙O上，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D． (1)求证：BD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，请求出BD的长． 18．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB． (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)求⊙O的半径； (3)连接BE，求BE的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)是的切线；见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是，根据圆周角定理得出，推出即可得出结论； （2）根据，得到，即可得，再根据勾股定理得出即可． 【解析】（1）与相切， 理由：∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径，即是半径， ∴是的切线； （2）由（1）知，， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 即线段的长为． 【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键． 2．(1)见解析 (2)9 【分析】（1）连接，利用圆周角定理可求，进而求出，利用等边对等角可得，结合条件得出，最后利用切线的判定即可得证； （2）证得，根据相似三角形的性质求得，在中，根据勾股定理即可求出的半径． 【解析】（1）证明：连接， ， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴，即， ∴， 又是是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ， ∴， 解得， ∴的半径为9． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 3．(1)证明见解析 (2)的半径为15 【分析】（1）连接，根据平分，，，证明即可． （2）设的半径为x，则有，