立体几何中的平行与垂直的证明问题 期末专题复习导学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

专题6立体几何中平行与垂直的证明问题 题型1 空间中平行关系的证明 常用定理以及判断方法 例1如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证： （1）BF∥HD1； （2）EG∥平面BB1D1D； （3）平面BDF∥平面B1D1H． 例2如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、P分别是棱AB，A1B1的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 例3如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM． 例4如图，在直三棱柱中，点分别是中点，平面平面． (1)证明：； 例5 如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点. （1）求证：; （2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 例6如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面． (1)证明：平面PBE； (2)证明：． 题型2 空间中垂直关系的证明 常用定理以及判断方法 例1　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 例2如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示. 设平面与平面的交线为，求证：； 例3如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM. 例4　已知多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形是直角梯形，，，． (1)求证：平面平面； 题型3 空间中平行与垂直的综合问题 例1如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F． 例2如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP. 求证：(1)MN∥平面PBC； MD⊥平面PAB. 例3如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点． (1) 求证：EF∥平面ABC； (2) 求证：BB1⊥AC. 例4如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P为BC的中点.求证： （1）OP∥平面ABB1A1； （2）平面ACC1⊥平面OCP. 例5如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：．A B C D E F P ( 【跟踪训练】 1.设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题： ①若a∥c，b∥c，则a∥b； ②若a∥b，b∥α，则a∥α； ③若a∥α，b∥α，则a∥b； ④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b. 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（    ） A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PCD 3.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若A1C∥平面BC1D，则D为（　　） A．棱AB的中点 B．棱AA1的中点 C．棱BC的中点 D．棱A1B1的中点 4.（多选题）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是（　　） A．OM∥PD B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA 5.（多选）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（       ） A． B． C． D． 6.如图，在五面体P-ABCD中，，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足．求证：平面EMC． 7.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证： (1) MN∥平面ABB1A1； (2) AN⊥A1B. 8.如图，已知矩形ABCD所在平面与△ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点． (1) 求证：MN∥平面BEC； (2) 求证：AH⊥CE. 9.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD