2023年九年级数学中考专题训练：动态几何综合压轴题

2023年九年级数学中考专题训练:动态几何综合压轴题 1．如图，和的顶点B重合，，，，． (1)特例发现：如图1，当点D，E分别在上时，可以得出结论：　　，直线与直线的位置关系是 　　； (2)探究证明：如图2，将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点B顺时针旋转，连接，它们的延长线交于点F，当时，求的值． 2．如图1，在中，，，点，分别在，上．且，连接，，点是的中点，连接． (1)观察猜想：图1中，线段，的数量关系是________，位置关系是________． (2)探究证明：将绕点顺时针旋转，试判断线段，的数量关系和位置关系，并就图2的情形说明理由． (3)问题解决：将绕点在平面内自由旋转，连接，若，，当时，请直接写出线段的长． 3．定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边． 【概念理解】 (1)如图1，四边形是和谐四边形，对角线与交于点，是和谐对角线，是和谐边． ①是________三角形． ②若，则________． 【问题探究】 (2)如图2，四边形是矩形，过点作交的延长线于点，连接交于点，，，是否存在实数，使得四边形是和谐四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边，，，请求出的值． 4．问题情景：已知在中，，过点A作于点D，点P为直线上一点（不与点B、C重合），过点P作于点M，于点N． (1)观察猜想 如图1，若，P在线段上时，线段的数量关系是 　　． (2)类比探究 如图2，若，P在线段上时，判断线段的数量关系，并说明理由． (3)问题解决 若，点P在线段两端点的外端，且，请直接写出的值． 5．在等腰三角形中，．点E为上一点，连接． (1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：； (2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，，将沿着翻折得到（），点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方． 6．如图1，在正方形纸片中，点E是的中点．将沿折叠，使点A落在点F处，连结． (1)求证：． (2)如图2，延长交于点G，求的值． (3)如图3，将沿折叠，此时点C的对应点H恰好落在上．若记和重叠部分的面积为，正方形的面积为，求的值． 7．如图1，在中，，，．点D、E分别在边、上（不与端点重合），和交于点，满足． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的值． 8．如图，在中，，点D为边的中点，分别交、边于点E、F，且． (1)当时（如图1），求证：； (2)当时（如图2）．求证：； (3)在（2）问的条件下，作的角平分线，交于点P，交的延长线于点Q（如图3），若，，求线段的长． 9． 中，． (1)如图1，若，平分交于点，且．证明：； (2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值． 10．如图，在中，点D，E分别在，上，连接，，点E为中点，连接交于点N，． (1)如图1，若，，求的长 (2)如图2，延长至点M，连接，，若，求证：； (3)如图3，延长至点M，连接，，，点为中点，连接，将沿翻折得到，点F，G分别为，上的动点（不与端点重合），连接，，连接交直线于点，当取得最小值时，直接写出的值． 11．如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 12．如图1，在中，把绕点顺时针旋转（）得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为_______． (2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． (3)如图4，在四边形，，，，，，在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”