精品解析：湖南师范大学附属中学2023届高三二模数学试题

湖南师大附中2023届模拟试卷（二） 数学 命题人：黄祖军 朱修龙 龚红玲 吴浩 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足：，则z在复平面内对应的点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 已知方程有实根；函数为增函数，则p是q的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 设，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则 A. B. C. D. 5. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差 B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则 6. 已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在上单调递增 C. 是函数的一个对称中心 D. 先将图象上各点的横坐标压缩为原来的，再将所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 7. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四棱锥外接球表面积为，体积为平面，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 三棱柱中，棱长均为2，顶点在底面上投影为棱的中点，为的中点，是上的动点，则（ ） A. 三棱柱的体积为1 B. 与平面所成的角为 C. D. 异面直线与所成角 10. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A B. 函数既有极大值又有极小值 C. 函数有三个零点 D. 在区间上单调递减 11. 已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（ ） A. 为定值 B. O、P、M、N四点一定共圆 C. 的最小值为 D. 存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线 12. 若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ） A. 存在，使 B. 当时，取得最小值 C. 没有最小值 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知的展开式中各项系数的和为243，则这个展开式中项的系数是__________． 14. 已知直线l经过点，且被圆截得弦长为6，则直线l的方程是__________． 15. 若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________． 16. 已知直线过抛物线的焦点，设抛物线的准线与轴的交点为，过的直线与抛物线交于、两点，若以线段为直径的圆过点，则__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，定义，且记，求数列的前n项和． 18. 某高中学校开展生涯规划教育，对今年的1200名考生（其中女生540人）进行调查，统计知：有意向报考师范专业的学生有200人（其中女生120人）． （1）完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验分析判断报考师范专业意向是否与性别有关？ 报考意向 报考意向人数 合计 师范专业 非师范专业 男生 女生 合计 （2）对有报考师范专业意向的学生按男