精品解析：天津市南开中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

南开中学2022-2023学年度第二学期期中检测高一数学试卷 Ⅰ卷（共32分） 一、单项选择题（共8题，每题4分，共32分） 1. 下面关于平面向量的描述不正确的有（ ） A. 共线向量是在一条直线上的向量 B. 起点不同但方向相同且模相等向量是相等向量 C. 向量与向量长度相等 D 两个非零向量，若，则 2. 已知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 3. 以下说法正确的是（ ） ①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体． A. ①②④⑥ B. ②③④⑤ C. ①②③⑥ D. ①②⑤⑥ 4. 在平行四边形ABCD中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 7. 如图，在平行四边形中，、分别为、上的点，且，连接、交于点，若，则点在上的位置为 A. 边中点 B. 边上靠近点三等分点 C. 边上靠近点的四等分点 D. 边上靠近点的五等分点 8. 如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷（共68分） 二、填空题（共6题，每小题4分，共24分） 9. 若是虚数单位，复数________. 10. 如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是________. 11. 已知点，若向量与同向，，则点A的坐标为________. 12. 已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______． 13. 三棱锥的顶点都在球O的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为108，则球O的表面积为________. 14. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：米），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由点C测得点B的仰角为，与的差为100，由点B测得点A的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差为________米. 三、解答题（共3题，共44分） 15. 在中，内角所对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知点为正方形所在平面外一点，，、分别为、上的点，且. （1）求证：平面； （2）求线段的长. 17. 如图所示，某市有一块空地，其中，，．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设． （1）当时，求此时防护网的总长度； （2）若，问此时人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的多少倍？ （3）为节省投入资金，人工湖面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2022-2023学年度第二学期期中检测高一数学试卷 Ⅰ卷（共32分） 一、单项选择题（共8题，每题4分，共32分） 1. 下面关于平面向量的描述不正确的有（ ） A. 共线向量是在一条直线上的向量 B. 起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量 C. 向量与向量长度相等 D. 两个非零向量，若，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，由共线向量的定义可判断；对于B，由相等向量的定义可判断；对于C，由相反向量的定义可判断；对于D，由两边平方得，即可判断. 【详解】对于A，共线向量所在的直线平行或重合，A错误； 对于B，根据相等向量的定义可知，起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量，B正确； 对于C，向量与向量是相反向量，长度相等，C正确； 对于D，两个非零向量，若，则两边平方得 所以，所以，即，D正确. 故选：A 2. 已知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可逐项判断. 【详解】∵，∴，故z的虚部为， 则，，，所以B正确，A，C，D不正确. 故选：B. 3. 以下说法正确的是（ ） ①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五