第二十四章 圆—— 圆的切线证明及计算题 2022-2023学年人教版九年级数学上册

关于切线的知识点总结： 1、切线的判定与性质： （1）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 （2）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 2、常见的切线证明思路： （1）证平行，进而证垂直：通过平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；再通过“一条直线垂直于两条平行的直线”证出垂直；③中位线定理，证明平行； （2）证全等，进而证垂直：①两三角形全等后，对应角相等，且两对应角互补，得出直角，进而证垂直；②两三角形全等，其中一个三角形的某内角为直角，全等后另一三角形的对应角也为直角，进而证垂直。 （3）通过角与角之间的数量关系：①同角或等角的余角相等；②求出切线与半径所成角的具体度数，或与之在同一图形内其他角的度数，例如：角1，角2，角3在一个三角形内，即角1+角2+角3=180度，求出角1=55度，角2=35度，多以角3=90度，进而证明垂直。 圆的几何图形证明题 1、如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长． 3.（8分）如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是的中点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求AE的长． 4、如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点． （1）求证：直线l是⊙O的切线； （2）若PA=6，求PB的长． 5、如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径． 6、如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相较于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°． (1)求∠ABD的度数； (2)若AB＝6，求PD的长度． 7、如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO=DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长． 8、如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB． （1）求证：AB是圆的切线； （2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=，AB：BC=2：3，求圆的直径． 9、如图，在中，，以为直径分别与，交于点，，过点作于点． （1）判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若的半径为，，求阴影部分的面积． 10、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E． （1）求证：AD＝AE； （2）若AB＝8，AD＝6，求EB的长． 11、如图，AB是⊙O的直径，点C在圆O上，BE⊥CD垂足为E，CB平分∠ABE，连接BC (1)求证：CD为⊙O的切线； (2)若cos∠CAB＝，CE＝，求AD的长． 12、如图，与的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径． (1)求证：AB是切线； (2)若求AC的长． 13、如图，点O在△ABC的BC边上，⊙O经过点A、C，且与BC相交于点 D．点E是下半圆弧的中点，连接AE交BC于点F，已知AB＝BF． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若OC＝3，OF＝1，求cosB的值． 14、如图，是的外接圆，，，交的延长线于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 参考答案 1、（1）如图，连接， ， 则， 设，， ， ， 为的直径， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）如图，连接， 是的切线，则，又， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中