7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 高一 必修二 本节目标 1. 了解复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义; 2. 会用三角形式进行复数乘、除运算; 3. 复数三角形式的乘、除运算的几何意义的运用. 2 课前预习 预习课本P86～89，思考并完成以下问题 1. 怎样进行复数的三角形式的乘法运算？复数乘法运算的几何意义是什么？ 2. 怎样进行复数的三角形式的除法运算？复数除法运算的几何意义是什么？ 课前小测 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复数范围内，1的立方根是1.(　　) (2)2·3＝6i.(　　) × √ 4 2．把z＝2－i对应的向量，按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数的代数形式为________． x y O 2 －1 Z －2 －1 －1－2i 5 3．(1＋ i)2019＝________. －22019 (1＋ i)2019＝ 2019 ＝ ＝ ＝ 6 4． ＝__________________. ＝ ＝ 7 新知探究 情景导入 复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？ 1. 复数三角形式的乘法 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)， z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)， 则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2) ＝_____________________________， 简记：模数相乘，辐角相加 r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 10 两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量， ，然后把向量绕点O按_____________________(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为________________，得到向量， 表示的复数就是积z1z2. 几何意义 逆时针方向旋转θ2 原来的r2倍 特征：旋转＋伸缩变换． 11 2. 复数三角形式的除法 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 设z1，z2的三角形式分别是： z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)， z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)， 则＝ ＝ __________________________(z2≠0)， [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] 简记：模数相除，辐角相减 12 几何意义 两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量， ，将向量按__________________(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为____________，所得向量就表示商. 顺时针方向旋转θ2 原来的倍 复数除法实质也是向量的_______________． 旋转和伸缩 13 3．复数三角形式的乘法公式推广 z1z2z3…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)·…·rn(cosθn＋isinθn) ＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]． 4．复数的乘方运算(棣莫佛定理) 即复数的n(n∈N*)次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理． [r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)． 14 题型突破 典例深度剖析 重点多维探究 题型一　复数三角形式乘法运算及几何意义 [例1]　已知复数z1＝2 ，z2＝ ，求z1z2. z1z2 ＝ 2 × ＝ 2× ＝ ＝ 反思感悟 涉及两个复数积的运算，应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行，要注意辐角主值的范围． 跟踪训练 已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值． ∵z1＝4＋4i＝4， z2＝－1－i＝ ， ∴z1z2＝4 [] ＝8 ＝8 ， ∴θ1＋θ2＝ . 题型二　复数三角形式除法运算及其几何意义 [例2]　计算的值． 反思感悟 在进行复数三角形式的除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按除法法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示． 跟踪训练 2. 计算：2÷[]. 原式= 2]÷[] = 2 ] = 2] 题型三　　复数乘、除运算几何意义的应用 [例3] 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ . 22