7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1　数系的扩充和复数的概念 高一 必修二 本节目标 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2．理解复数的概念、表示法及相关概念． 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件． 2 课前预习 预习课本P68～70，思考并完成以下问题 1.实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？ 2.复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？ 课前小测 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　) (2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．(　　) (3)bi是纯虚数．(　　) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　) × × × √ 4 2．做一做 (1)若a＋bi＝0，则实数a＝________，实数b＝________. (2)(1＋)i的实部与虚部分别是________、__________． (3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________. 0 0 0 1＋ a2－1=0 a=±1 ±1 5 新知探究 新知引入 ？ 问题探究 我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得i2= － 1. i是数学家欧拉最早引入的. 莱昂哈德·欧拉 莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 课外拓展 知识点一 虚数单位 i 在实数集R中添加新数i，规定： ①i2＝ ________，其中i叫做虚数单位； ②i可与实数进行___________，且原有的加法、乘法运算律仍然成立． －1 四则运算 9 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做________，其中i叫做__________． 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}叫做_________． 知识点二 复数的相关概念 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的________与________． 复数 虚数单位 复数集 实部 虚部 10 知识点三 复数的分类 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)， 当且仅当________时，它是实数； 当且仅当________时，它是实数0； 当且仅当________时，叫做虚数； 当______________时，叫做纯虚数． b＝0 a＝b＝0 b≠0 a＝0且b≠0 11 ？ 思考 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 复数的分类可以通过下图表示 复数a＋bi(a，b∈R) (1) 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数(a=0) 非纯虚数(a≠0) (2)集合表示 复数集(C) 虚数集 实数集(R) 纯虚数集 知识点四 复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当______________. a＝c且b＝d 题型突破 典例深度剖析 重点多维探究 题型一　复数的有关概念 ①两个复数不能比较大小； ②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数是________． 所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集． 当这两个复数都是实数时，可以比较大小. x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式 若a＝0，则ai不是纯虚数 [例1]　给出下列四个命题： × × × × 0 16 反思感悟 数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立． 跟踪训练 ①若a∈R，则(a＋