8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教A版2019高中数学必修第二册 第8章 立体几何初步 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 生产生活中，我们经常会遇见这样的问题：某产品呈棱锥状，现需对其表面进行涂色； 一礼品盒呈长方体状，现需用彩纸对其进行包装．在这些实际问题中，所需涂料的多少或者彩纸的大小围成几何体的各个面的面积密切相关． 为此，我们引入几何体表面积相关概念． 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 矩形面积公式： 三角形面积公式： 梯形面积公式： 长方体体积： 正方体体积： 常见平面图形的面积公式 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体表面积：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和。 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成他们的各个面的面积之和，因此，我们可以把多面体展开成平面图，利用求平面图形面积的方法，求多面体的表面积 展开图面积与其表面积有什么关系？ 棱柱、棱锥、棱台是怎么展开的呢？ 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的样子吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 也就是说求多面体的表面积关键在于知道展开图是怎么样的！ 空间问题 平面问题 棱锥 棱台 棱柱 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例3. 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． A B C D A1 B1 C1 D1 直棱柱的侧棱垂直于底面，构成直角三角形，如 本题中Rt△A1AC、Rt△D1DB. 体对角线为对角面的对角线，如A1C、D1B. 设底面对角线AC＝a，DB＝b，交点为O，对角线A1C＝15，D1B＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56. ∴AB2 =( )2＋( )2 ＝ =64, AC 2 BD 2 ∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 A B C P 侧棱长为 a 侧面积为3× ×( a)2= a2 1 2 3 4 底面积为 a2 4 练习1 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 练习2：如图，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积. 解：因为∆PBC是正三角形，其边长 为a，所以 . 因此，四面体P-ABC的表面积 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 三角形、矩形、梯形各面面积之和 展开图 棱柱、棱锥、棱台的表面积 空间图形表面积 平面展开图面积 转化思想 2 棱柱、棱锥、棱台的体积 某长方体纸盒的长、宽、高分别为4cm，3cm，3cm，整个长方体的体积是_____ 36cm3 V长方体=abc 或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高) (a,b,c分别为长方体长、宽、高) 2 棱柱、棱锥、棱台的体积 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？ 高度、书中每页纸面积和顺序不变 2 棱柱、棱锥、棱台的体积 祖暅原理 两等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等． 书本121-122 2 棱柱、棱锥、棱台的体积               柱体(棱柱、圆柱)的体积 V棱柱=sh 2 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱与棱锥体积之间的关系 一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示：                                       2 棱柱、棱锥、棱台的体积       锥体(棱锥、圆锥)的体积 推导过程感兴趣可以查阅祖暅原理 2 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱台的体积又应该是怎样的呢？ O O’ 2 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 柱体 锥体 台体 直 观 图 体 积 2 棱柱、棱锥、棱台的体积 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ S为底面面积，h为柱体高 S分别为上、下底面面积，h 为台体高 S为底面面积，h为锥体高 上底扩大 上底缩小 2 棱柱、棱锥、棱台的体积 例1. 正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为3，.求正三棱锥的体积. P A B C O E O为△ABC的中心，PO⊥底面ABC，AO= AE = 2 3 2 3 PO2=PA2