2022-2023学年高二物理竞赛课件：傅立叶的两个主要贡献

傅立叶的两个主要贡献 1748年,Euler弦振动研究 1807年，研究热的传播与扩散现象 1829年狄里赫利(Dirichlet)收敛条件 拉格朗日(Lagrange)反对发表 1822年，出版“热的分析理论”一书中首次公开研究成果 傅立叶的两个主要贡献 周期信号可表示为谐波关系的正弦信号的加权和。 非周期信号可用正弦信号的加权积分表示。 贯穿本节的基本思想： 　复杂光波　分解　为一组不同频率的单色光波的线性组合； 　将不同频率的单色光波线性叠加，获得任意复杂光波 傅立叶分析方法 法国数学家、物理学家 三角级数创始人 傅立叶提出 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 发展简史： Poisson、Guass等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 光波的傅里叶分析 1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。 2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余弦曲线。 3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一组单色波。 非简谐周期性波的傅里叶级数表示 具有空间周期λ的函数f(z)，可以表示成一些空间周期为λ的分数倍（即λ，λ/2，λ/3…）的简谐函数之和。其数学形式为 所谓周期波就是在相邻的相等时间和空间内运动完全重复一次的波. 利用傅里叶级数定理,对于空间角频率为k的复杂波f(z)，可以表示成许多空间角频率为k, 2k,3k, …的不同振幅的单色波的叠加.An,Bn是某一空间角频率的单色波的振幅,表示该单色光波在复杂波中所占的比例. 例：如图11-41空间周期为λ的矩形波，在一个周期内它可用如下函数表示： f(z)为奇数即f(z)=- f(-z) ：则A0=0，An=0 λ/2 λ -λ/2 z f(z) +1 -1 0 图11-41 得到B1=4/π，B2=0，B3=4/(3π)，B4=0，B5=4/(5π)，… 该矩形波的傅里叶级数为： 其中第一项成为基波，它的空间角频率为k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率m/λ(m≥2)是谐频]。 将上式展开,得 通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶分析的结果。 周期性复杂波的频谱是离散频谱。 k 振幅 4/π 4/3π 4/5π 4/7π k 3k 5k 7k 傅里叶级数也可以表示为复数形式: 其中系数 显然式(4)级数中的每一项也都可以看成为一个单色波,所以式(4)式的意义仍然可以理解为周期性复杂波的分解. 非周期性波不是无限次的重复它的波形,而是 只存在于一定的有限范围之内。 此时，由于其周期为无穷大，λ→∞， 则傅里叶级数→傅里叶积分： 其中： 称A(k)为函数f(z)的傅里叶变换(频谱)。傅里叶积分可理解为一个波包可以分解成无穷多个单色波. 非周期性波的傅里叶积分表示 $