2023年中考数学专题训练——圆的切线的证明

2023年中考数学专题训练——圆的切线的证明 1．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，连接AD，过D作DE⊥AC于E． (1)求证：DE为⊙O的切线； (2)若AB＝13，CD＝5，求DE的长． 2．如图，AB是的弦，C是外一点，，CO交AB于点P，交于点D，且CP＝CB． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 3．如图，直线l经过⊙O上一点C，点A、B在直线l上，且OA＝OB，CA＝CB． (1)直线l与⊙O相切吗？请说明理由； (2)若OC＝AC，⊙l的半径为2，求图中阴影部分的面积． 4．如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若CE=2，DE=4，求⊙O的半径． 5．如图，为的直径，弦于点E，于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 6．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AC=8，CD=12，求半径的长度． 7．如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，，． (1)求证：直线AC是⊙O的切线： (2)求的面积． 8．如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP． (1)求证：PA是⊙O的切线； (2)若AB=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号） 9．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点．． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 10．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠B＝∠F． (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AB＝4，∠B＝30°，连接AD，求AD的长． 11．如图，AB是的直径，点C、点D在上，，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且． (1)求证：AF是的切线； (2)若，，求的半径． 12．如图，为的直径，点C，D在上，点D是弧的中点，过点D作，交的延长线于点E，连结． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若CD＝3cm，，求⊙O直径的长． 15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为 E，ED的延长线与AC 的延长线交于点F， (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为4，∠F =30°，求DE的长． 16．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若OB＝2，∠CAD＝30°，则的长为 ． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F． （1）求证：直线DF是⊙O的切线； （2）求证：BD2＝CF•AC． 18．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD． 求证：（1）CD是⊙O的切线； （2）CO⊥DB； （3）△EDA∽△EBD； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由中位线定理知OD//AC，然后由平行线的性质得到OD⊥DE，故得到答案； （2）由直径所对的圆周角是90°及等腰三角形的性质得到AC的长，然后使用勾股定理求出AD的长度，最后用等积法算出DE长度即可． 【解析】（1）证明：连接OD， ∵BO＝OA，BD＝DC， ∴OD//AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线； （2）∴AD⊥BD， ∵BD＝CD＝5， ∴AC＝AB＝13， ∴AD＝＝＝12， ∵ ∴， 解得：DE＝， 答：DE的长为． 【点评】本题考查了切线的判定及性质定理，涉及了圆周角、等腰三角形等相关知识，掌握并熟练使用相关定义、定理，精准识图是本题的解题关键． 2．(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CB