6.2.3 向量的数乘运算课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 高一 必修二 本节目标 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义． 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算． 3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题． 2 课前预习 (1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？ (2)向量数乘运算满足哪三条运算律？ (3)向量共线定理是怎样表述的？ (4)向量的线性运算是指的哪三种运算？ 预习课本P13～16，思考并完成以下问题 课前小测 1．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　) A．b＝2a B．b＝－2a C．a＝2b D．a＝－2b A 4 2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是(　　) A. ＝3 B. ＝2 C. ＝ D. ＝2 A B C ＝－3 ＝－2 ＝2 D 5 3．化简：2(3a＋4b)－8a＝___________. 2(3a＋4b)－8a ＝ 6a＋8b－8a ＝ －2a＋8b －2a＋8b 6 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， ＋ ＝λ ，则λ＝________. 由向量加法的平行四边形法则知＋ ＝ . 又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO， ∴ ＝2 ，∴ ＋ ＝2 ， ∴λ＝2. 2 7 新知探究 1．向量的数乘运算 它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝________； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向_________； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向_________． (1) 定义 规定实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的数乘， 向量 记作：_______， λa |λ||a| 相同 相反 9 λ(a－b)＝__________. 设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μa)＝_________； ②(λ＋μ)a＝_________； ③λ(a＋b)＝_________； (2) 运算律 (λμ)a λa＋μa λa＋λb 特别地，有(－λ)a＝_________＝ _______； λ(－a) －(λa) λa－λb 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果_________．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝______________. (3) 线性运算 仍是向量 λμ1a±λμ2b 10 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_________. b＝λa 位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 11 思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？ 提示：定理中a≠0不能漏掉． 若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数； 若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. ? 12 题型突破 典例深度剖析 重点多维探究 题型一　向量的线性运算 [例1]　(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. x＝4b－3a 3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0 x＋3a－4b＝0 4b－3a 14 ② [(3a＋2b)－] －2； (2)化简下列各式： ③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. ①3(6a＋b)－9； 原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. 原式＝ －a－ b＝a＋b－a－b＝0. 原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. ②向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 向量数乘运算的方法 ①向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 方法总结 跟踪训练 1．(1)化简[(4a－3b) ＋ b－]； 原式= [4a－3b ＋ b－] = [(4－＋(－3] = [－] = － 17 (2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y. 所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 3x－2y＝a －4x＋3y＝b ① ② 由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b， 代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b. 18 题型二　向量共线定理 1．如何证明向量a与b共线？ 提示：要证明向量a与b共线，只需证明存